Chapter 6 · Series, Analogy & Coding
असमानता — चिह्न और निष्कर्ष के नियम
Inequalities — Signs & Conclusion Rules| चिह्न | अर्थ | चिह्न | अर्थ |
|---|---|---|---|
| > | से बड़ा | ≥ | से बड़ा या बराबर (छोटा नहीं) |
| < | से छोटा | ≤ | से छोटा या बराबर (बड़ा नहीं) |
| = | बराबर | ≠ | बराबर नहीं |
एक ही दिशा के चिह्न → संबंध निकलता है:
A > B > C ⇒ A > C · A ≥ B > C ⇒ A > C
A ≥ B ≥ C ⇒ A ≥ C · A = B > C ⇒ A > C
A = B = C ⇒ A = C
नियम: रास्ते में एक भी > हो तो परिणाम >; सब ≥/= हों तो ≥; सब = हों तो =
A > B > C ⇒ A > C · A ≥ B > C ⇒ A > C
A ≥ B ≥ C ⇒ A ≥ C · A = B > C ⇒ A > C
A = B = C ⇒ A = C
नियम: रास्ते में एक भी > हो तो परिणाम >; सब ≥/= हों तो ≥; सब = हों तो =
दिशा टूटी = कोई संबंध नहीं
A > B < C · A ≥ B ≤ C · A < B > C
इनमें A और C के बीच कुछ भी हो सकता है → निष्कर्ष "नहीं निकलता"।
बीच वाले अक्षर की ओर दोनों चिह्नों के नुकीले सिरे हों (A > B < C) या दोनों खुले मुँह (A < B > C) — तो रुक जाओ।
साझा अक्षर, खुले सिरे: A > B, A > C → B और C का संबंध नहीं।
A > B < C · A ≥ B ≤ C · A < B > C
इनमें A और C के बीच कुछ भी हो सकता है → निष्कर्ष "नहीं निकलता"।
बीच वाले अक्षर की ओर दोनों चिह्नों के नुकीले सिरे हों (A > B < C) या दोनों खुले मुँह (A < B > C) — तो रुक जाओ।
साझा अक्षर, खुले सिरे: A > B, A > C → B और C का संबंध नहीं।
कथन: P > Q ≥ R = S < T
I. P > S ✓ (रास्ते में >)
II. T > R ✓ (R = S < T)
III. Q ≥ S ✓ (≥ और =)
IV. P > T ✗ (दिशा टूटी)
I. P > S ✓ (रास्ते में >)
II. T > R ✓ (R = S < T)
III. Q ≥ S ✓ (≥ और =)
IV. P > T ✗ (दिशा टूटी)
कई कथन: M ≥ N, N > O, O = P
जोड़ो → M ≥ N > O = P
I. M > P ✓ · II. N > P ✓
III. M = O ✗ (M > O निश्चित है)
उल्टा पढ़ो: C < B, A > B → B > C लिखो → A > B > C
दो भाग वाला निष्कर्ष (A > B ≥ C): दोनों भाग सही हों तभी सत्य।
जोड़ो → M ≥ N > O = P
I. M > P ✓ · II. N > P ✓
III. M = O ✗ (M > O निश्चित है)
उल्टा पढ़ो: C < B, A > B → B > C लिखो → A > B > C
दो भाग वाला निष्कर्ष (A > B ≥ C): दोनों भाग सही हों तभी सत्य।
"या तो I या II" (Either-or)
तीनों शर्तें ज़रूरी:
① दोनों निष्कर्ष अलग-अलग नहीं निकलते
② दोनों में वही दो अक्षर हैं
③ दोनों मिलकर कथनों से बची हर संभावना ढक लें
(≥, ≤) पूरक नहीं (= दोनों में) → या तो-या नहीं
पूरक जोड़े: (> , =) · (< , =) · (≥ , <) · (≤ , >)
① दोनों निष्कर्ष अलग-अलग नहीं निकलते
② दोनों में वही दो अक्षर हैं
③ दोनों मिलकर कथनों से बची हर संभावना ढक लें
(≥, ≤) पूरक नहीं (= दोनों में) → या तो-या नहीं
पूरक जोड़े: (> , =) · (< , =) · (≥ , <) · (≤ , >)
कथन: A ≥ B = C > D
I. A > C ✗ · II. A = C ✗ → पर A ≥ C है, तो या तो I या II ✓
कथन: P > Q < R
I. R > P · II. P ≥ R → संबंध नहीं, पर दोनों मिलकर सब ढकते हैं → या तो I या II
I. A > C ✗ · II. A = C ✗ → पर A ≥ C है, तो या तो I या II ✓
कथन: P > Q < R
I. R > P · II. P ≥ R → संबंध नहीं, पर दोनों मिलकर सब ढकते हैं → या तो I या II
"कथनों को सत्य मानकर कौन-सा निष्कर्ष निश्चित रूप से सत्य है?" · विकल्प: केवल I / केवल II / या तो I या II / न I न II / दोनों
कूटबद्ध असमानताएँ Coded Inequalities
🔣 क्या होता है?>, <, = की जगह $, @, #, %, & जैसे प्रतीक दिए जाते हैं और हर प्रतीक का अर्थ शब्दों में लिखा होता है। पहले हर प्रतीक को असली चिह्न में बदलो, फिर पिछले पेज के नियम लगाओ।
| कूट | शब्दों में अर्थ | असली चिह्न |
|---|---|---|
| P $ Q | P, Q से छोटा नहीं है | P ≥ Q |
| P @ Q | P, Q से बड़ा नहीं है | P ≤ Q |
| P # Q | P, Q से न छोटा है न बराबर | P > Q |
| P % Q | P, Q से न बड़ा है न बराबर | P < Q |
| P & Q | P, Q से न छोटा है न बड़ा | P = Q |
शब्द → चिह्न
छोटा नहीं = ≥ · बड़ा नहीं = ≤
न छोटा, न बराबर = >
न बड़ा, न बराबर = <
न छोटा, न बड़ा = =
छोटा नहीं = ≥ · बड़ा नहीं = ≤
न छोटा, न बराबर = >
न बड़ा, न बराबर = <
न छोटा, न बड़ा = =
जिस चीज़ को "नहीं" कहा गया, उसे हटा दो — जो बचे वही चिह्न।
"न छोटा न बराबर" → < और = हटे → बचा >
"छोटा नहीं" → < हटा → बचे > और = → ≥
"न छोटा न बराबर" → < और = हटे → बचा >
"छोटा नहीं" → < हटा → बचे > और = → ≥
प्रश्न: कथन: M $ N, N # R, R & K
बदलो → M ≥ N, N > R, R = K → M ≥ N > R = K
I. M # K (M > K) ✓ — रास्ते में > है · II. K % N (K < N) ✓ · III. N & K (N = K) ✗
उत्तर: I और II दोनों निकलते हैं
कूटबद्ध या तो-या: M $ N, N & R → M ≥ R · I. M # R (M > R) ✗ · II. M & R (M = R) ✗ → पूरक जोड़ी → या तो I या II
बदलो → M ≥ N, N > R, R = K → M ≥ N > R = K
I. M # K (M > K) ✓ — रास्ते में > है · II. K % N (K < N) ✓ · III. N & K (N = K) ✗
उत्तर: I और II दोनों निकलते हैं
कूटबद्ध या तो-या: M $ N, N & R → M ≥ R · I. M # R (M > R) ✗ · II. M & R (M = R) ✗ → पूरक जोड़ी → या तो I या II
प्रश्न: यदि '×' = '>', '+' = '<', '÷' = '=' हो, तो कथन A × B ÷ C + D से कौन-सा सत्य है?
बदलो → A > B = C < D
A > C ✓ · D > B ✓ · A और D का संबंध ✗
बदलो → A > B = C < D
A > C ✓ · D > B ✓ · A और D का संबंध ✗
प्रश्न: P ? Q > R ≥ S — ? पर कौन-सा चिह्न रखें कि P > S निश्चित हो?
>, ≥ या = — तीनों चलेंगे (रास्ते में Q > R पहले से है)। < या ≤ नहीं चलेंगे (दिशा टूटेगी)।
>, ≥ या = — तीनों चलेंगे (रास्ते में Q > R पहले से है)। < या ≤ नहीं चलेंगे (दिशा टूटेगी)।
क्रम याद रखो: प्रतीक → चिह्न → एक पंक्ति में जोड़ो → नियम। कथनों को जोड़ते समय साझा अक्षर (N, R) बीच में रखो।
हर प्रश्न-समूह में प्रतीकों के अर्थ बदल जाते हैं — पिछले प्रश्न का अर्थ याद से मत लगाओ, हर बार तालिका दोबारा बनाओ।
"'P $ Q' का अर्थ है P, Q से छोटा नहीं है … कथनों को सत्य मानकर निष्कर्ष बताइए" · "प्रतीक बदलकर कौन-सा निष्कर्ष सही?" · "? के स्थान पर कौन-सा चिह्न आए कि निष्कर्ष निश्चित रूप से सत्य हो?"
गणितीय संक्रियाएँ — चिह्न बदलना और संतुलन Mathematical Operations & Symbols
BODMAS (हल करने का क्रम)
① Brackets — कोष्ठक
② Of — "का" = गुणा (जैसे 10 का ½ = 5)
③ Division ÷ और Multiplication × — बाएँ से दाएँ
④ Addition + और Subtraction − — बाएँ से दाएँ
कोष्ठक क्रम: रेखा-कोष्ठक (बार) → ( ) → { } → [ ] · कोष्ठक से पहले − हो तो अंदर के चिह्न उलटते हैं
① Brackets — कोष्ठक
② Of — "का" = गुणा (जैसे 10 का ½ = 5)
③ Division ÷ और Multiplication × — बाएँ से दाएँ
④ Addition + और Subtraction − — बाएँ से दाएँ
कोष्ठक क्रम: रेखा-कोष्ठक (बार) → ( ) → { } → [ ] · कोष्ठक से पहले − हो तो अंदर के चिह्न उलटते हैं
उदाहरण: 20 − 12 ÷ 4 × 2 + 3
= 20 − 3 × 2 + 3 (पहले ÷)
= 20 − 6 + 3 (फिर ×)
= 17
= 20 − 3 × 2 + 3 (पहले ÷)
= 20 − 6 + 3 (फिर ×)
= 17
चिह्न बदलकर हल करना (Symbol substitution)
प्रश्न: P = ×, Q = ÷, R = +, S = − हो, तो 18 Q 3 P 4 R 10 S 6 = ?
→ 18 ÷ 3 × 4 + 10 − 6
= 6 × 4 + 10 − 6 = 24 + 10 − 6 = 28
→ 18 ÷ 3 × 4 + 10 − 6
= 6 × 4 + 10 − 6 = 24 + 10 − 6 = 28
प्रश्न: '+' का अर्थ '×', '−' का अर्थ '÷', '×' का अर्थ '−', '÷' का अर्थ '+' हो, तो 16 + 4 − 8 × 2 ÷ 6 = ?
→ 16 × 4 ÷ 8 − 2 + 6
= 64 ÷ 8 − 2 + 6 = 8 − 2 + 6 = 12
→ 16 × 4 ÷ 8 − 2 + 6
= 64 ÷ 8 − 2 + 6 = 8 − 2 + 6 = 12
चिह्न आपस में बदलना और संतुलन (Interchange & balancing)
प्रश्न: किन दो चिह्नों को आपस में बदलने पर 4 + 6 × 2 − 3 = 23 सही होगा?
+ और × बदलो → 4 × 6 + 2 − 3 = 24 − 1 = 23 ✓
(× ↔ − : 4 ✗ · + ↔ − : −5 ✗)
उत्तर: + और ×
+ और × बदलो → 4 × 6 + 2 − 3 = 24 − 1 = 23 ✓
(× ↔ − : 4 ✗ · + ↔ − : −5 ✗)
उत्तर: + और ×
प्रश्न: 8 _ 4 _ 2 _ 6 = 10 में चिह्नों का सही क्रम?
(a) ÷ × + → 2 × 2 + 6 = 10 ✓
(b) × + − → 32 + 2 − 6 = 28 ✗
(c) − ÷ + → 8 − 2 + 6 = 12 ✗
(d) + − × → 8 + 4 − 12 = 0 ✗
(a) ÷ × + → 2 × 2 + 6 = 10 ✓
(b) × + − → 32 + 2 − 6 = 28 ✗
(c) − ÷ + → 8 − 2 + 6 = 12 ✗
(d) + − × → 8 + 4 − 12 = 0 ✗
नई संक्रिया: यदि a ★ b = a² − b, तो 5 ★ 3 = 25 − 3 = 22
यदि a # b = a + b + ab, तो 2 # 3 = 2 + 3 + 6 = 11
संख्याएँ बदलना: 4 और 8 तथा + और × आपस में बदलें, तो 4 + 8 × 2 → 8 × 4 + 2 = 34
यदि a # b = a + b + ab, तो 2 # 3 = 2 + 3 + 6 = 11
संख्याएँ बदलना: 4 और 8 तथा + और × आपस में बदलें, तो 4 + 8 × 2 → 8 × 4 + 2 = 34
संतुलन में पहले सम/विषम या इकाई अंक से विकल्प हटाओ, फिर बचे 1–2 पूरे जाँचो। नई संक्रिया में दिया गया सूत्र ही लगाओ।
पहले पूरा समीकरण नए चिह्नों में दोबारा लिखो, फिर BODMAS।
substitution = प्रतीक का अर्थ बदले · interchange = दो चिह्नों/संख्याओं की जगह बदले।
"'+' का अर्थ '×' … हो तो मान?" · "किन दो चिह्नों को बदलने पर समीकरण सही?" · "चिह्नों का सही क्रम चुनिए" · "a ★ b = … तो मान?"