Chapter 7 · Direction, Clock & Calendar
दिशा ज्ञान — 8 दिशाएँ और मुड़ना
Direction Sense — 8 Directions & Turns4 मुख्य + 4 उप-दिशाएँ = 8 दिशाएँ
पास-पास की दो दिशाओं में 45° · मुख्य दिशाओं में 90° · ठीक उल्टी दिशा में 180°
कोण उत्तर से घड़ी की दिशा में गिनो: N 0°, NE 45°, E 90°, SE 135°, S 180°, SW 225°, W 270°, NW 315°
पास-पास की दो दिशाओं में 45° · मुख्य दिशाओं में 90° · ठीक उल्टी दिशा में 180°
कोण उत्तर से घड़ी की दिशा में गिनो: N 0°, NE 45°, E 90°, SE 135°, S 180°, SW 225°, W 270°, NW 315°
| उप-दिशा | हिंदी नाम | उल्टी दिशा |
|---|---|---|
| उत्तर-पूर्व NE | ईशान | नैऋत्य SW |
| दक्षिण-पूर्व SE | आग्नेय | वायव्य NW |
| दक्षिण-पश्चिम SW | नैऋत्य | ईशान NE |
| उत्तर-पश्चिम NW | वायव्य | आग्नेय SE |
दाएँ / बाएँ मुड़ना
दाएँ (Right) = घड़ी की दिशा में 90° (clockwise)
बाएँ (Left) = घड़ी की उल्टी दिशा में 90° (anticlockwise)
पीछे मुड़ना (About turn) = 180°
"45° दाएँ" = एक उप-दिशा आगे · "135° बाएँ" = 3 कदम (45° के) उल्टे
दाएँ (Right) = घड़ी की दिशा में 90° (clockwise)
बाएँ (Left) = घड़ी की उल्टी दिशा में 90° (anticlockwise)
पीछे मुड़ना (About turn) = 180°
"45° दाएँ" = एक उप-दिशा आगे · "135° बाएँ" = 3 कदम (45° के) उल्टे
| मुँह | दाएँ मुड़े → | बाएँ मुड़े → |
|---|---|---|
| उत्तर | पूर्व | पश्चिम |
| पूर्व | दक्षिण | उत्तर |
| दक्षिण | पश्चिम | पूर्व |
| पश्चिम | उत्तर | दक्षिण |
कुल घुमाव विधि
घड़ी की दिशा (दाएँ) = + · उल्टी (बाएँ) = −
अंतिम कोण = आरंभ कोण + सब घुमावों का योग
360° से बड़ा हो तो 360 घटाओ, ऋण हो तो 360 जोड़ो
घड़ी की दिशा (दाएँ) = + · उल्टी (बाएँ) = −
अंतिम कोण = आरंभ कोण + सब घुमावों का योग
360° से बड़ा हो तो 360 घटाओ, ऋण हो तो 360 जोड़ो
प्रश्न: उत्तर की ओर मुँह; 90° दाएँ, फिर 135° बाएँ, फिर 180° दाएँ। अब मुँह?
0 + 90 − 135 + 180 = 135° → दक्षिण-पूर्व
प्रश्न: पूर्व की ओर मुँह; बाएँ, बाएँ, दाएँ → 90 − 90 − 90 + 90 = 0° → उत्तर
0 + 90 − 135 + 180 = 135° → दक्षिण-पूर्व
प्रश्न: पूर्व की ओर मुँह; बाएँ, बाएँ, दाएँ → 90 − 90 − 90 + 90 = 0° → उत्तर
मानचित्र नियम: ऊपर उत्तर, नीचे दक्षिण, दाएँ पूर्व, बाएँ पश्चिम। सूर्य पूर्व में उगता, पश्चिम में डूबता है। ऊपर से घड़ी की दिशा में क्रम: N → E → S → W ("Never Eat Soggy Wheat")।
दो बार दाएँ = 180° (उल्टी दिशा) · तीन बार दाएँ = एक बार बाएँ · चार बार एक ही ओर मुड़ो = वही दिशा।
"उत्तर की ओर मुँह करके 90° दक्षिणावर्त, फिर 135° वामावर्त घूमा — अब मुँह किस ओर?" · "पूर्व की ओर चलकर दो बार दाएँ मुड़ा, अब किस दिशा में चल रहा है?" · "ईशान/आग्नेय कौन-सी दिशा है?"
अंतिम दूरी और दिशा — पाइथागोरस Shortest Distance & Final Direction
पाइथागोरस प्रमेय
सबसे कम दूरी (कर्ण)² = (उत्तर-दक्षिण कुल)² + (पूर्व-पश्चिम कुल)²
d = √(x² + y²)
उत्तर (+), दक्षिण (−) · पूर्व (+), पश्चिम (−) — अलग-अलग जोड़ो
सबसे कम दूरी (कर्ण)² = (उत्तर-दक्षिण कुल)² + (पूर्व-पश्चिम कुल)²
d = √(x² + y²)
उत्तर (+), दक्षिण (−) · पूर्व (+), पश्चिम (−) — अलग-अलग जोड़ो
पाइथागोरस त्रिक (सीधा उत्तर)
3, 4, 5 · 6, 8, 10 · 9, 12, 15 · 12, 16, 20
5, 12, 13 · 8, 15, 17 · 7, 24, 25 · 20, 21, 29 · 9, 40, 41
दोनों भुजाएँ बराबर (a, a) → दूरी a√2 (√2 ≈ 1.414)
3, 4, 5 · 6, 8, 10 · 9, 12, 15 · 12, 16, 20
5, 12, 13 · 8, 15, 17 · 7, 24, 25 · 20, 21, 29 · 9, 40, 41
दोनों भुजाएँ बराबर (a, a) → दूरी a√2 (√2 ≈ 1.414)
प्रश्न: A 15 m उत्तर, दाएँ मुड़कर 10 m, फिर दाएँ 25 m चला। आरंभ से दूरी?
उत्तर 15 − दक्षिण 25 = 10 m दक्षिण · पूर्व 10 m
दूरी = √(100 + 100) = 10√2 ≈ 14.14 m, दिशा दक्षिण-पूर्व
उत्तर 15 − दक्षिण 25 = 10 m दक्षिण · पूर्व 10 m
दूरी = √(100 + 100) = 10√2 ≈ 14.14 m, दिशा दक्षिण-पूर्व
प्रश्न: 8 m पश्चिम, फिर दाएँ 6 m। आरंभ से?
पश्चिम की ओर मुँह में दायाँ = उत्तर
दूरी = √(64 + 36) = 10 m, दिशा उत्तर-पश्चिम
पश्चिम की ओर मुँह में दायाँ = उत्तर
दूरी = √(64 + 36) = 10 m, दिशा उत्तर-पश्चिम
लंबा रास्ता: 10 km पूर्व, बाएँ 4 km, बाएँ 6 km, दाएँ 4 km
पूर्व 10 − पश्चिम 6 = 4 km पूर्व · उत्तर 4 + 4 = 8 km उत्तर
दूरी = √(16 + 64) = √80 = 4√5 km · दिशा उत्तर-पूर्व
पूर्व 10 − पश्चिम 6 = 4 km पूर्व · उत्तर 4 + 4 = 8 km उत्तर
दूरी = √(16 + 64) = √80 = 4√5 km · दिशा उत्तर-पूर्व
स्थिति वाले प्रश्न: A, B के उत्तर में है; C, A के पूर्व में है। B, C से किस दिशा में?
B (0,0), A (0,1), C (1,1) → C से B = नीचे-बाएँ = दक्षिण-पश्चिम
(उल्टा पूछें — C, B से = उत्तर-पूर्व)
B (0,0), A (0,1), C (1,1) → C से B = नीचे-बाएँ = दक्षिण-पश्चिम
(उल्टा पूछें — C, B से = उत्तर-पूर्व)
तीन अलग प्रश्न: ① आरंभ से दूरी ② आरंभ से किस दिशा में है ③ अंत में मुँह किस ओर है। "X, Y से किस दिशा में" = Y पर खड़े होकर X को देखो।
हर चाल का छोटा चित्र (x-y रेखा) ज़रूर बनाओ। केवल एक ही अक्ष बचा (जैसे 7 m उत्तर) → दूरी वही, कोई पाइथागोरस नहीं।
"… चलकर वह आरंभ बिंदु से कितनी दूर / किस दिशा में है?" · "न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए" · "P, R के सापेक्ष किस दिशा में है?" · "अब उसका मुँह किस ओर है?"
छाया वाले प्रश्न और कूट दिशाएँ Shadow Questions & Coded Directions
छाया सूर्य के ठीक उल्टी ओर पड़ती है
सुबह (सूर्योदय के बाद) सूर्य पूर्व में → छाया पश्चिम में
शाम (सूर्यास्त से पहले) सूर्य पश्चिम में → छाया पूर्व में
दोपहर में छाया सबसे छोटी होती है, इसलिए प्रश्न प्रायः सुबह या शाम के ही आते हैं।
सुबह (सूर्योदय के बाद) सूर्य पूर्व में → छाया पश्चिम में
शाम (सूर्यास्त से पहले) सूर्य पश्चिम में → छाया पूर्व में
दोपहर में छाया सबसे छोटी होती है, इसलिए प्रश्न प्रायः सुबह या शाम के ही आते हैं।
| व्यक्ति का मुँह | सुबह छाया (पश्चिम) कहाँ? | शाम छाया (पूर्व) कहाँ? |
|---|---|---|
| उत्तर | बाएँ | दाएँ |
| दक्षिण | दाएँ | बाएँ |
| पूर्व | पीछे | सामने |
| पश्चिम | सामने | पीछे |
प्रश्न: सूर्योदय के बाद सुरेश एक खंभे के सामने खड़ा है; खंभे की छाया ठीक उसके दाएँ पड़ती है। उसका मुँह किधर है?
सुबह छाया = पश्चिम; पश्चिम दाएँ हो → मुँह दक्षिण
सुबह छाया = पश्चिम; पश्चिम दाएँ हो → मुँह दक्षिण
प्रश्न: शाम को A और B आमने-सामने बात कर रहे हैं; A की छाया ठीक उसके बाएँ है। B का मुँह किधर?
शाम छाया = पूर्व; पूर्व बाएँ → A का मुँह दक्षिण → B का मुँह उत्तर
शाम छाया = पूर्व; पूर्व बाएँ → A का मुँह दक्षिण → B का मुँह उत्तर
कूट दिशाएँ — दिशाओं के नाम बदल जाएँ (Coded directions)
घुमाव निकालो, सब पर वही लगाओ
घुमाव = नया नाम का कोण − असली कोण
हर दिशा उतनी ही घूमती है
उदाहरण: पूर्व को उत्तर कहा → 90° → 0° = 90° बाएँ घुमाव → दक्षिण को पूर्व, पश्चिम को दक्षिण, उत्तर को पश्चिम कहेंगे
घुमाव = नया नाम का कोण − असली कोण
हर दिशा उतनी ही घूमती है
उदाहरण: पूर्व को उत्तर कहा → 90° → 0° = 90° बाएँ घुमाव → दक्षिण को पूर्व, पश्चिम को दक्षिण, उत्तर को पश्चिम कहेंगे
प्रश्न: यदि दक्षिण-पूर्व को उत्तर और उत्तर-पूर्व को पश्चिम कहा जाए, तो पश्चिम को क्या कहेंगे?
SE 135° → N 0°: घुमाव −135° (जाँच: NE 45° − 135° = −90° = 270° = W ✓)
W 270° − 135° = 135° → दक्षिण-पूर्व
SE 135° → N 0°: घुमाव −135° (जाँच: NE 45° − 135° = −90° = 270° = W ✓)
W 270° − 135° = 135° → दक्षिण-पूर्व
प्रश्न: यदि पूर्व को पश्चिम कहा जाए (180°), तो किसे उत्तर कहेंगे?
जो 180° घूमकर उत्तर बने = दक्षिण
ध्यान: "X को क्या कहेंगे" और "किसे X कहेंगे" — दिशा उलट जाती है
जो 180° घूमकर उत्तर बने = दक्षिण
ध्यान: "X को क्या कहेंगे" और "किसे X कहेंगे" — दिशा उलट जाती है
कूट दिशा में मानचित्र को ही घुमा दो: जितना एक दिशा घूमी उतना पूरा कम्पास। 180° घुमाव में हर दिशा अपनी उल्टी बन जाती है (NE ↔ SW, SE ↔ NW)।
"सूर्योदय के बाद छाया उसके बाएँ पड़ी, मुँह किस ओर?" · "शाम को दो मित्र आमने-सामने …" · "यदि उत्तर-पूर्व को दक्षिण कहें, तो पश्चिम को क्या कहेंगे?" · "किस दिशा को उत्तर कहा जाएगा?"
दिशा — मिश्रित प्रश्न-प्रकार Direction — Mixed Question Types
तिरछी (45°) चाल
किसी उप-दिशा (NE, SE …) में d चलना = दोनों मुख्य दिशाओं में d/√2 चलना
10√2 m उत्तर-पूर्व = 10 m उत्तर + 10 m पूर्व
किसी उप-दिशा (NE, SE …) में d चलना = दोनों मुख्य दिशाओं में d/√2 चलना
10√2 m उत्तर-पूर्व = 10 m उत्तर + 10 m पूर्व
प्रश्न: 10√2 m उत्तर-पूर्व, फिर 10 m दक्षिण। आरंभ से?
उत्तर 10, पूर्व 10 → फिर दक्षिण 10 → उत्तर-दक्षिण 0
बचा केवल 10 m पूर्व
उत्तर 10, पूर्व 10 → फिर दक्षिण 10 → उत्तर-दक्षिण 0
बचा केवल 10 m पूर्व
दो व्यक्ति अलग दिशाओं में: A और B एक ही बिंदु से; A 3 km/घंटा उत्तर, B 4 km/घंटा पूर्व। 2 घंटे बाद उनके बीच दूरी?
A = 6 km, B = 8 km (दूरी = चाल × समय)
दूरी = √(36 + 64) = 10 km
उत्तर और दक्षिण में जाते तो दूरी = 6 + 8 = 14 km (जोड़ो)
A = 6 km, B = 8 km (दूरी = चाल × समय)
दूरी = √(36 + 64) = 10 km
उत्तर और दक्षिण में जाते तो दूरी = 6 + 8 = 14 km (जोड़ो)
दूरी सहित स्थिति: A, B से 5 m पूर्व में; C, A से 12 m उत्तर में। C, B से कितनी दूर और किस दिशा में?
B (0,0) → A (5,0) → C (5,12)
दूरी = √(25 + 144) = 13 m, दिशा उत्तर-पूर्व की ओर
(ठीक 45° NE तभी जब दोनों भाग बराबर हों)
B (0,0) → A (5,0) → C (5,12)
दूरी = √(25 + 144) = 13 m, दिशा उत्तर-पूर्व की ओर
(ठीक 45° NE तभी जब दोनों भाग बराबर हों)
वापसी का रास्ता
आरंभ पर लौटने के लिए: उतनी ही दूरी, उल्टी दिशा में
रवि (5 km उत्तर-पूर्व पहुँचा) → लौटने को 5 km दक्षिण-पश्चिम
बंद रास्ता (वर्ग/आयत पूरा, या कुल उत्तर = कुल दक्षिण और कुल पूर्व = कुल पश्चिम) → आरंभ से दूरी 0
आरंभ पर लौटने के लिए: उतनी ही दूरी, उल्टी दिशा में
रवि (5 km उत्तर-पूर्व पहुँचा) → लौटने को 5 km दक्षिण-पश्चिम
बंद रास्ता (वर्ग/आयत पूरा, या कुल उत्तर = कुल दक्षिण और कुल पूर्व = कुल पश्चिम) → आरंभ से दूरी 0
उल्टा प्रश्न: कितना मुड़ा?
उत्तर → पश्चिम = 90° बाएँ (या 270° दाएँ)
पूर्व → उत्तर-पश्चिम = 135° बाएँ (या 225° दाएँ)
घुमाव = अंतिम कोण − आरंभ कोण (+ = दाएँ, − = बाएँ)
उत्तर → पश्चिम = 90° बाएँ (या 270° दाएँ)
पूर्व → उत्तर-पश्चिम = 135° बाएँ (या 225° दाएँ)
घुमाव = अंतिम कोण − आरंभ कोण (+ = दाएँ, − = बाएँ)
सूर्य की ओर मुँह
सुबह सूर्य की ओर मुँह = पूर्व · शाम = पश्चिम
सुबह सूर्य की ओर मुँह करके दाएँ मुड़ा → दक्षिण
दोपहर: कर्क रेखा के उत्तर (जैसे उत्तर प्रदेश) में सूर्य दक्षिण की ओर रहता है, इसलिए छाया उत्तर की ओर; सूर्य ठीक सिर के ऊपर हो तो छाया नहीं बनती।
सुबह सूर्य की ओर मुँह = पूर्व · शाम = पश्चिम
सुबह सूर्य की ओर मुँह करके दाएँ मुड़ा → दक्षिण
दोपहर: कर्क रेखा के उत्तर (जैसे उत्तर प्रदेश) में सूर्य दक्षिण की ओर रहता है, इसलिए छाया उत्तर की ओर; सूर्य ठीक सिर के ऊपर हो तो छाया नहीं बनती।
आमने-सामने / पीठ से पीठ
दोनों के मुँह उल्टी दिशा में → A का दायाँ = B का बायाँ
A उत्तर देखे तो B दक्षिण; A का दायाँ (पूर्व) = B का बायाँ
एक ही ओर मुँह (एक पंक्ति) → दोनों का दायाँ एक ही
दोनों के मुँह उल्टी दिशा में → A का दायाँ = B का बायाँ
A उत्तर देखे तो B दक्षिण; A का दायाँ (पूर्व) = B का बायाँ
एक ही ओर मुँह (एक पंक्ति) → दोनों का दायाँ एक ही
घड़ी + दिशा: 4:30 पर घंटे की सुई पूर्व की ओर है, तो मिनट सुई किधर?
4:30 पर घंटे की सुई 135°, मिनट सुई 180° → मिनट सुई घंटे की सुई से 45° दक्षिणावर्त
पूर्व (90°) + 45° = 135° → दक्षिण-पूर्व
विधि: दोनों सुइयों का आपसी कोण निकालो, फिर दी गई दिशा से उतना घुमाओ (यहाँ डायल घुमा हुआ है, 12 उत्तर नहीं)
4:30 पर घंटे की सुई 135°, मिनट सुई 180° → मिनट सुई घंटे की सुई से 45° दक्षिणावर्त
पूर्व (90°) + 45° = 135° → दक्षिण-पूर्व
विधि: दोनों सुइयों का आपसी कोण निकालो, फिर दी गई दिशा से उतना घुमाओ (यहाँ डायल घुमा हुआ है, 12 उत्तर नहीं)
लंबी कड़ी: P, Q के उत्तर-पूर्व में है; Q, R के पूर्व में है। R, P से किस ओर?
R (0,0), Q (2,0), P (3,1) → P से R = नीचे-बाएँ → दक्षिण-पश्चिम की ओर
(निर्देशांक मान लो — x = पूर्व, y = उत्तर)
R (0,0), Q (2,0), P (3,1) → P से R = नीचे-बाएँ → दक्षिण-पश्चिम की ओर
(निर्देशांक मान लो — x = पूर्व, y = उत्तर)
"दोनों 2 घंटे बाद एक-दूसरे से कितनी दूर?" · "आरंभ पर लौटने के लिए किस दिशा में कितना चले?" · "सुबह सूर्य की ओर मुँह करके दो बार बाएँ मुड़ा …" · "4:30 पर घंटे की सुई पूर्व में हो तो मिनट सुई?"