Chapter 9 · Arithmetic
औसत
Average➕योगसभी मानों को जोड़ो
🔢संख्याकितने मान हैं (n)
⚖️औसतयोग ÷ संख्या
↔️सीमाऔसत सबसे छोटे और सबसे बड़े मान के बीच
औसत = मानों का योग ÷ मानों की संख्या
योग = औसत × संख्या (हर प्रश्न की चाबी)
हर मान में k जोड़ो/घटाओ → औसत भी +k / −k
हर मान को k से गुणा/भाग → औसत भी ×k / ÷k
योग = औसत × संख्या (हर प्रश्न की चाबी)
हर मान में k जोड़ो/घटाओ → औसत भी +k / −k
हर मान को k से गुणा/भाग → औसत भी ×k / ÷k
समान अंतर वाली संख्याएँ (क्रमागत, सम, विषम, गुणज): औसत = (पहली + अंतिम) ÷ 2 = बीच वाली संख्या
विषम संख्या में पद → ठीक बीच का पद; सम संख्या में → बीच के दो पदों का औसत
विषम संख्या में पद → ठीक बीच का पद; सम संख्या में → बीच के दो पदों का औसत
| पहली n … | योग | औसत | उदाहरण |
|---|---|---|---|
| प्राकृत संख्याएँ | n(n + 1)/2 | (n + 1)/2 | 1 से 50 का औसत = 25.5 |
| सम संख्याएँ | n(n + 1) | n + 1 | पहली 20 सम = 21 |
| विषम संख्याएँ | n² | n | पहली 15 विषम = 15 |
| प्राकृत संख्याओं के वर्ग | n(n + 1)(2n + 1)/6 | (n + 1)(2n + 1)/6 | 1² से 10² = 385/10 = 38.5 |
| प्राकृत संख्याओं के घन | [n(n + 1)/2]² | n(n + 1)²/4 | 1³ से 5³ = 225/5 = 45 |
प्रश्न: 12, 15, 18, 21, 24 का औसत?
समान अंतर, 5 पद → बीच वाला = 18
समान अंतर, 5 पद → बीच वाला = 18
प्रश्न: 1 से 100 के बीच 7 के सभी गुणजों का औसत?
7 से 98 → (7 + 98)/2 = 52.5
7 से 98 → (7 + 98)/2 = 52.5
प्रश्न: 5 क्रमागत संख्याओं का औसत 30। सबसे बड़ी?
28, 29, 30, 31, 32 → 32
28, 29, 30, 31, 32 → 32
प्रश्न: 7 क्रमागत विषम संख्याओं का औसत 21। सबसे छोटी?
बीच वाली 21, अंतर 2 → 21 − 3 × 2 = 15
बीच वाली 21, अंतर 2 → 21 − 3 × 2 = 15
प्रश्न: 8 संख्याओं का औसत 15। हर संख्या में 4 जोड़ा। नया औसत?
15 + 4 = 19 (योग 120 → 152)
15 + 4 = 19 (योग 120 → 152)
प्रश्न: 6 संख्याओं का औसत 12। हर संख्या को 3 से गुणा किया। नया औसत?
12 × 3 = 36
12 × 3 = 36
बड़ी संख्याएँ हों तो एक मान मान लो, सिर्फ़ अंतर जोड़ो और उनका औसत मान लिए मान में जोड़ दो। समान अंतर वाली सूची में सीधे (पहली + अंतिम)/2।
पहली n: प्राकृत → (n + 1)/2 · सम → n + 1 · विषम → n · प्राकृत संख्याओं के वर्ग → (n + 1)(2n + 1)/6
"सीधा औसत" · "क्रमागत/सम/विषम संख्याओं का औसत" · "औसत दिया, सबसे बड़ी/छोटी संख्या" · "किसी सीमा में गुणजों का औसत" · "हर संख्या में जोड़/गुणा के बाद नया औसत" · "वर्गों/घनों का औसत"
औसत के प्रश्न Average Problems
n सदस्य, औसत A
नया सदस्य आया, औसत d बढ़ा → नए का मान = A + (n + 1)d (घटा तो A − (n + 1)d)
एक सदस्य गया, औसत d बढ़ा → जाने वाले का मान = A − (n − 1)d (घटा तो A + (n − 1)d)
एक को बदला, औसत d बढ़ा → नया = पुराना + n × d
नया सदस्य आया, औसत d बढ़ा → नए का मान = A + (n + 1)d (घटा तो A − (n + 1)d)
एक सदस्य गया, औसत d बढ़ा → जाने वाले का मान = A − (n − 1)d (घटा तो A + (n − 1)d)
एक को बदला, औसत d बढ़ा → नया = पुराना + n × d
गलत मान सुधार: सही औसत = पुराना औसत + (सही − गलत) ÷ n
भारित औसत: (n₁A₁ + n₂A₂ + …) ÷ (n₁ + n₂ + …)
बीच वाली संख्या (आगे के x और पीछे के x का औसत दिया): = आगे का योग + पीछे का योग − कुल योग
भारित औसत: (n₁A₁ + n₂A₂ + …) ÷ (n₁ + n₂ + …)
बीच वाली संख्या (आगे के x और पीछे के x का औसत दिया): = आगे का योग + पीछे का योग − कुल योग
प्रश्न: 30 छात्रों की औसत आयु 14 वर्ष। अध्यापक को जोड़ने पर औसत 1 वर्ष बढ़ा। अध्यापक की आयु?
14 + 31 × 1 = 45 वर्ष
14 + 31 × 1 = 45 वर्ष
प्रश्न: 11 संख्याओं का औसत 40। एक हटाने पर औसत 39। हटाई गई संख्या?
440 − 390 = 50 (या 40 + 10 × 1)
440 − 390 = 50 (या 40 + 10 × 1)
प्रश्न: 10 व्यक्तियों में 50 किग्रा वाले की जगह नया आया, औसत 2.5 किग्रा बढ़ा। नया व्यक्ति?
50 + 10 × 2.5 = 75 किग्रा
50 + 10 × 2.5 = 75 किग्रा
प्रश्न: 50 संख्याओं का औसत 36। बाद में पता चला 48 को 23 पढ़ा गया। सही औसत?
36 + (48 − 23)/50 = 36.5
36 + (48 − 23)/50 = 36.5
प्रश्न: 11 संख्याओं का औसत 50। पहली 6 का 49, अंतिम 6 का 52। छठी संख्या?
294 + 312 − 550 = 56
294 + 312 − 550 = 56
प्रश्न: वर्ग A के 40 छात्रों का औसत 60, वर्ग B के 60 का 70। सबका औसत?
(2400 + 4200)/100 = 66
(2400 + 4200)/100 = 66
प्रश्न: A, B, C का औसत 45; A, B का 40; B, C का 43। B?
80 + 86 − 135 = 31
80 + 86 − 135 = 31
प्रश्न: सोम–बुध का औसत तापमान 37°, मंगल–गुरु का 34°। गुरु = सोम का 4/5। गुरु?
सोम − गुरु = 111 − 102 = 9 → सोम 45 → 36°
सोम − गुरु = 111 − 102 = 9 → सोम 45 → 36°
विचलन विधि: 47, 52, 49, 55, 47 का औसत?
50 मानो → −3 + 2 − 1 + 5 − 3 = 0 → 50
50 मानो → −3 + 2 − 1 + 5 − 3 = 0 → 50
आयु: 3 वर्ष पहले पति, पत्नी, बच्चे की औसत आयु 27; 5 वर्ष पहले पत्नी और बच्चे की 20। पति की आज की आयु?
आज तीनों का योग = 81 + 9 = 90; पत्नी + बच्चा = 40 + 10 = 50 → पति = 40 वर्ष
आज तीनों का योग = 81 + 9 = 90; पत्नी + बच्चा = 40 + 10 = 50 → पति = 40 वर्ष
रन: बल्लेबाज़ 17वीं पारी में 87 रन बनाकर औसत 3 बढ़ाता है। नया औसत?
16x + 87 = 17(x + 3) → x = 36 → नया औसत = 39 | सीधा: 87 − 17 × 3 = 36, +3 = 39
16x + 87 = 17(x + 3) → x = 36 → नया औसत = 39 | सीधा: 87 − 17 × 3 = 36, +3 = 39
जुड़ने/हटने/बदलने में बदले हुए औसत × सदस्यों की संख्या सोचो: अध्यापक आया तो 31 लोगों को 1-1 वर्ष "दिया" → 14 + 31। आयु में हर वर्ष हर सदस्य +1, इसलिए औसत भी +1 प्रति वर्ष।
"नया सदस्य जुड़ा/हटा/बदला" · "गलत पढ़ा मान सुधारो" · "दो समूहों का संयुक्त (भारित) औसत" · "बीच वाली (छठी) संख्या" · "जोड़ियों के औसत से एक मान" · "परिवार की आयु" · "बल्लेबाज़ का औसत"
औसत: और प्रकार More Average Types
दो समूह, संयुक्त औसत दिया → संख्याओं का अनुपात
n₁ : n₂ = (A₂ − A) : (A − A₁) (A = संयुक्त औसत)
पहले n गुणज (k के): औसत = k(n + 1)/2
नया औसत दिया: नया मान = नया औसत × (n + 1) − पुराना योग
n₁ : n₂ = (A₂ − A) : (A − A₁) (A = संयुक्त औसत)
पहले n गुणज (k के): औसत = k(n + 1)/2
नया औसत दिया: नया मान = नया औसत × (n + 1) − पुराना योग
औसत चाल = कुल दूरी ÷ कुल समय (चालों का सीधा औसत नहीं)
समान दूरी, चाल x और y: 2xy ÷ (x + y)
समान दूरी, तीन चालें: 3xyz ÷ (xy + yz + zx)
समान समय तक चाल x और y: (x + y) ÷ 2
समान दूरी, चाल x और y: 2xy ÷ (x + y)
समान दूरी, तीन चालें: 3xyz ÷ (xy + yz + zx)
समान समय तक चाल x और y: (x + y) ÷ 2
प्रश्न: 40 छात्रों का औसत 72; लड़कों का 70, लड़कियों का 75। लड़के कितने?
लड़के : लड़कियाँ = (75 − 72) : (72 − 70) = 3 : 2 → 24 लड़के
लड़के : लड़कियाँ = (75 − 72) : (72 − 70) = 3 : 2 → 24 लड़के
प्रश्न: जाते समय 40 किमी/घंटा, लौटते समय 60 किमी/घंटा। औसत चाल?
2 × 40 × 60/100 = 48 किमी/घंटा (50 नहीं)
2 × 40 × 60/100 = 48 किमी/घंटा (50 नहीं)
प्रश्न: 3 घंटे 40 किमी/घंटा, फिर 2 घंटे 50 किमी/घंटा। औसत चाल?
(120 + 100)/5 = 44 किमी/घंटा
(120 + 100)/5 = 44 किमी/घंटा
प्रश्न: 5 संख्याओं का औसत 20। छठी जोड़ी तो औसत 22। छठी?
22 × 6 − 100 = 32
22 × 6 − 100 = 32
प्रश्न: 10 संख्याओं का औसत 40; 45 को 54 और 28 को 82 पढ़ा गया। सही औसत?
सही योग = 400 − 54 − 82 + 45 + 28 = 337 → 33.7
सही योग = 400 − 54 − 82 + 45 + 28 = 337 → 33.7
प्रश्न: 9 संख्याओं का औसत 30 निकाला, पर 10वीं संख्या 48 छूट गई। सही औसत?
(270 + 48)/10 = 31.8
(270 + 48)/10 = 31.8
शिशु जन्म: 3 वर्ष पहले 5 सदस्यों की औसत आयु 17; एक शिशु जन्मा, आज भी औसत 17। शिशु की आयु?
आज 5 का योग = 85 + 15 = 100; 6 का = 102 → 2 वर्ष
आज 5 का योग = 85 + 15 = 100; 6 का = 102 → 2 वर्ष
सदस्य की मृत्यु: 6 सदस्यों की औसत आयु 30; 60 वर्ष वाले की मृत्यु। 2 वर्ष बाद शेष का औसत?
120/5 = 24 → 24 + 2 = 26 वर्ष
120/5 = 24 → 24 + 2 = 26 वर्ष
पहले गुणज: 6 के पहले 10 गुणजों का औसत?
6 × 11/2 = 33
6 × 11/2 = 33
औसत घटा: 10 पारियों का औसत 50; 11वीं में 28 रन। नया औसत?
(500 + 28)/11 = 48
(500 + 28)/11 = 48
लक्ष्य औसत: 9 पारियों का औसत 40। 10वीं में कितने रन बनाए कि औसत 42 हो?
420 − 360 = 60 रन
420 − 360 = 60 रन
रन रेट: पहले 10 ओवर में 3.2। 282 का लक्ष्य, शेष 40 ओवर में रन रेट?
(282 − 32)/40 = 6.25
(282 − 32)/40 = 6.25
औसत चाल में (x + y)/2 तभी सही है जब दोनों चालों पर समय बराबर हो; दूरी बराबर हो तो 2xy/(x + y)।
"संयुक्त औसत से लड़के-लड़कियों की संख्या" · "जाना-आना, औसत चाल" · "नया औसत दिया, नया मान" · "दो मान गलत पढ़े/एक छूटा" · "शिशु जन्म/मृत्यु के बाद औसत आयु" · "औसत घटा, लक्ष्य औसत के लिए रन" · "जोड़ियों/दिनों का औसत"