Chapter 8 · Arithmetic
साधारण ब्याज
Simple Interest💰मूलधन (P)जो राशि उधार दी/ली
📈दर (R)₹100 पर 1 वर्ष का ब्याज (% वार्षिक)
⏳समय (T)वर्षों में (महीने ÷ 12, दिन ÷ 365)
🧾मिश्रधन (A)A = P + ब्याज
साधारण ब्याज SI = P × R × T ÷ 100
P = 100 × SI ÷ (R × T) | R = 100 × SI ÷ (P × T)
T = 100 × SI ÷ (P × R)
A = P + SI = P(100 + RT)/100
P = 100 × SI ÷ (R × T) | R = 100 × SI ÷ (P × T)
T = 100 × SI ÷ (P × R)
A = P + SI = P(100 + RT)/100
राशि n गुना हो (साधारण ब्याज): R × T = 100 (n − 1)
दोगुनी: RT = 100 · तिगुनी: RT = 200 · चौगुनी: RT = 300
हर वर्ष SI समान रहता है (ब्याज केवल मूलधन पर)।
दोगुनी: RT = 100 · तिगुनी: RT = 200 · चौगुनी: RT = 300
हर वर्ष SI समान रहता है (ब्याज केवल मूलधन पर)।
प्रश्न: ₹5,000 का 8% वार्षिक दर से 3 वर्ष का SI और मिश्रधन?
5000 × 8 × 3/100 = ₹1,200; A = ₹6,200
5000 × 8 × 3/100 = ₹1,200; A = ₹6,200
प्रश्न: ₹2,400 का 5% वार्षिक दर से 9 महीने का SI?
2400 × 5 × 9/12 ÷ 100 = ₹90
2400 × 5 × 9/12 ÷ 100 = ₹90
प्रश्न: ₹7,300 का 10% वार्षिक दर से 73 दिन का SI?
7300 × 10 × 73/365 ÷ 100 = ₹146
7300 × 10 × 73/365 ÷ 100 = ₹146
प्रश्न: किस दर से ₹1,500 का 4 वर्ष में SI ₹360 होगा?
R = 100 × 360 ÷ (1500 × 4) = 6%
R = 100 × 360 ÷ (1500 × 4) = 6%
प्रश्न: कितने वर्ष में ₹800 पर 5% से SI ₹200?
T = 100 × 200 ÷ (800 × 5) = 5 वर्ष
T = 100 × 200 ÷ (800 × 5) = 5 वर्ष
प्रश्न: 4 वर्ष में 12% दर से मिश्रधन ₹7,400। मूलधन?
P = 7400 × 100/148 = ₹5,000
P = 7400 × 100/148 = ₹5,000
प्रश्न: ₹12,000 का 8% वार्षिक दर से 2½ वर्ष का SI?
12000 × 8 × 2.5/100 = ₹2,400
12000 × 8 × 2.5/100 = ₹2,400
प्रश्न: 3 वर्ष का SI मूलधन का 3/5 है। दर?
R = (3/5 × 100) ÷ 3 = 20%
R = (3/5 × 100) ÷ 3 = 20%
SI के प्रश्न में समय हमेशा वर्षों में बदलो: 9 महीने = 3/4 वर्ष, 73 दिन = 1/5 वर्ष। मिश्रधन से मूलधन: P = A × 100 ÷ (100 + RT)।
पैसे प्रति रुपया प्रति माह → वार्षिक दर: 1 पैसा/₹/माह = 1% मासिक = 12% वार्षिक; 2 पैसे = 24%। ₹100 पर ₹1 मासिक ब्याज = 12% वार्षिक।
"P, R, T से SI/मिश्रधन" · "SI दिया, दर/समय/मूलधन निकालो" · "महीनों/दिनों का ब्याज" · "मिश्रधन से मूलधन" · "पैसे प्रति रुपया प्रति माह को वार्षिक दर में बदलो"
साधारण ब्याज के प्रश्न Simple Interest Problems
दो मिश्रधन दिए: 1 वर्ष का SI = (A₂ − A₁) ÷ (T₂ − T₁)
फिर P = A₁ − T₁ × (1 वर्ष का SI)
दोगुनी/n गुनी: R × T = 100(n − 1)
फिर P = A₁ − T₁ × (1 वर्ष का SI)
दोगुनी/n गुनी: R × T = 100(n − 1)
दो राशियों पर समान SI: P₁R₁T₁ = P₂R₂T₂
दर बदली: आय का अंतर = P × (दरों का अंतर) × T/100
अलग अवधि, अलग दर: SI = P(R₁T₁ + R₂T₂)/100
दर बदली: आय का अंतर = P × (दरों का अंतर) × T/100
अलग अवधि, अलग दर: SI = P(R₁T₁ + R₂T₂)/100
प्रश्न: कोई राशि 3 वर्ष में ₹6,500 और 5 वर्ष में ₹7,500 हो जाती है (SI)। मूलधन और दर?
2 वर्ष का SI = 1000 → 1 वर्ष = 500 → P = 6500 − 1500 = ₹5,000, R = 500/5000 = 10%
2 वर्ष का SI = 1000 → 1 वर्ष = 500 → P = 6500 − 1500 = ₹5,000, R = 500/5000 = 10%
प्रश्न: राशि 8 वर्ष में दोगुनी (SI)। दर? उसी दर से तिगुनी कितने वर्ष में?
R = 100/8 = 12.5% → तिगुनी: RT = 200 → T = 16 वर्ष
R = 100/8 = 12.5% → तिगुनी: RT = 200 → T = 16 वर्ष
प्रश्न: राशि 5 वर्ष में दोगुनी। 4 गुनी कितने वर्ष में?
R = 20% → RT = 300 → 15 वर्ष
R = 20% → RT = 300 → 15 वर्ष
प्रश्न: SI मूलधन का 9/16 है, और दर = समय। दर?
R × R/100 = 9/16 → R² = 900/16 → R = 7.5% (समय 7.5 वर्ष)
R × R/100 = 9/16 → R² = 900/16 → R = 7.5% (समय 7.5 वर्ष)
प्रश्न: ₹10,000 पर पहले 2 वर्ष 5%, अगले 3 वर्ष 6%। कुल SI?
10000 × (5 × 2 + 6 × 3)/100 = ₹2,800
10000 × (5 × 2 + 6 × 3)/100 = ₹2,800
प्रश्न: ₹10,000 का कुछ भाग 5% पर, शेष 8% पर; वार्षिक ब्याज ₹650। 5% वाला भाग?
5x + 8(10000 − x) = 65000 → 3x = 15000 → ₹5,000
5x + 8(10000 − x) = 65000 → 3x = 15000 → ₹5,000
प्रश्न: ₹1,600 का 6% से 5 वर्ष का SI = किस राशि का 8% से 3 वर्ष का SI?
1600 × 30 = P × 24 → ₹2,000
1600 × 30 = P × 24 → ₹2,000
प्रश्न: दर 8% से घटकर 7.5% होने पर वार्षिक आय ₹120 घटी। मूलधन?
P का 0.5% = 120 → ₹24,000
P का 0.5% = 120 → ₹24,000
प्रश्न: किसी राशि पर 2 वर्ष का SI ₹120। उसी दर से 5 वर्ष का?
1 वर्ष = 60 → ₹300
1 वर्ष = 60 → ₹300
औसत दर: ₹1,000 को 5% पर और ₹2,000 को x% पर समान समय के लिए दिया; कुल ब्याज पूरे ₹3,000 पर 8% के बराबर। x?
1000 × 5 + 2000 × x = 3000 × 8 → 2000x = 19000 → x = 9.5%
1000 × 5 + 2000 × x = 3000 × 8 → 2000x = 19000 → x = 9.5%
n गुना → पहले RT = 100(n − 1)। दर = समय → R² = 100 × SI/P।
"दो वर्षों के मिश्रधन से मूलधन और दर" · "राशि कितने वर्ष में दोगुनी/तिगुनी/चौगुनी" · "दर = समय" · "अलग अवधि में अलग दर" · "दो भागों में अलग दरें" · "समान SI" · "दर घटने से आय घटी"
चक्रवृद्धि ब्याज Compound Interest
मिश्रधन A = P(1 + R/100)ⁿ | CI = A − P
अर्धवार्षिक: दर R/2, समय 2n
त्रैमासिक: दर R/4, समय 4n
हर वर्ष अलग दर: A = P(1 + R₁/100)(1 + R₂/100)…
n वर्ष + भिन्न f (जैसे 2½): A = P(1 + R/100)ⁿ × (1 + f·R/100)
अर्धवार्षिक: दर R/2, समय 2n
त्रैमासिक: दर R/4, समय 4n
हर वर्ष अलग दर: A = P(1 + R₁/100)(1 + R₂/100)…
n वर्ष + भिन्न f (जैसे 2½): A = P(1 + R/100)ⁿ × (1 + f·R/100)
2 वर्ष का प्रभावी दर = 2R + R²/100
3 वर्ष: 3R + 3R²/100 + R³/10000
(10% पर: 2 वर्ष 21%, 3 वर्ष 33.1%)
n वर्ष में दोगुनी → 2n में 4 गुनी, 3n में 8 गुनी
3 वर्ष: 3R + 3R²/100 + R³/10000
(10% पर: 2 वर्ष 21%, 3 वर्ष 33.1%)
n वर्ष में दोगुनी → 2n में 4 गुनी, 3n में 8 गुनी
प्रश्न: ₹10,000 पर 10% वार्षिक CI, 2 वर्ष?
A = 10000 × 1.21 = 12,100 → CI ₹2,100
A = 10000 × 1.21 = 12,100 → CI ₹2,100
प्रश्न: ₹8,000 पर 10% वार्षिक, अर्धवार्षिक संयोजन, 1 वर्ष?
5%, 2 बार: 8000 × 1.1025 = 8,820 → CI ₹820
5%, 2 बार: 8000 × 1.1025 = 8,820 → CI ₹820
प्रश्न: ₹16,000 पर 20% वार्षिक, त्रैमासिक, 6 महीने?
5%, 2 बार: 16000 × 1.1025 = 17,640 → CI ₹1,640
5%, 2 बार: 16000 × 1.1025 = 17,640 → CI ₹1,640
प्रश्न: ₹5,000 पर पहले वर्ष 10%, दूसरे वर्ष 20%। मिश्रधन?
5000 × 1.1 × 1.2 = ₹6,600
5000 × 1.1 × 1.2 = ₹6,600
प्रश्न: ₹4,000 पर 10% वार्षिक CI, 2½ वर्ष?
4000 × 1.1² × 1.05 = ₹5,082 (आधे वर्ष पर R/2 का SI)
4000 × 1.1² × 1.05 = ₹5,082 (आधे वर्ष पर R/2 का SI)
प्रश्न: राशि CI पर 4 वर्ष में दोगुनी। 8 गुनी कितने वर्ष में?
8 = 2³ → 3 × 4 = 12 वर्ष
8 = 2³ → 3 × 4 = 12 वर्ष
प्रश्न: CI पर कोई राशि 2 वर्ष में ₹1,210 और 3 वर्ष में ₹1,331 हो जाती है। दर और मूलधन?
R = (1331 − 1210)/1210 × 100 = 10% → P = 1210 ÷ 1.21 = ₹1,000
R = (1331 − 1210)/1210 × 100 = 10% → P = 1210 ÷ 1.21 = ₹1,000
प्रश्न: ₹2,000 पर 5% वार्षिक CI, 3 वर्ष?
2000 × 1.157625 = 2,315.25 → CI ₹315.25
2000 × 1.157625 = 2,315.25 → CI ₹315.25
| दर | (1 + R/100)¹ | ² | ³ | भिन्न रूप |
|---|---|---|---|---|
| 5% | 1.05 | 1.1025 | 1.157625 | 21/20 |
| 10% | 1.1 | 1.21 | 1.331 | 11/10 |
| 20% | 1.2 | 1.44 | 1.728 | 6/5 |
भिन्न वर्ष का ऊपर वाला सूत्र परीक्षा की मानक विधि है; कुछ पुस्तकें (1 + R/100)^2.5 भी लिखती हैं।
"P, R, n से CI/मिश्रधन" · "अर्धवार्षिक/त्रैमासिक संयोजन" · "हर वर्ष अलग दर" · "2 और 3 वर्ष के मिश्रधन से दर" · "n वर्ष में दोगुनी, 8 गुनी कब" · "2½ वर्ष का CI"
CI और SI का अंतर Difference between CI & SI
2 वर्ष: CI − SI = P(R/100)²
3 वर्ष: CI − SI = P(R/100)²(3 + R/100)
= P R² (300 + R) ÷ 100³
3 वर्ष: CI − SI = P(R/100)²(3 + R/100)
= P R² (300 + R) ÷ 100³
2 वर्ष का SI और CI दिया:
R = (CI − SI) ÷ (SI/2) × 100
P = (SI/2) × 100 ÷ R
(दूसरे वर्ष का अतिरिक्त ब्याज = पहले वर्ष के ब्याज पर ब्याज)
R = (CI − SI) ÷ (SI/2) × 100
P = (SI/2) × 100 ÷ R
(दूसरे वर्ष का अतिरिक्त ब्याज = पहले वर्ष के ब्याज पर ब्याज)
प्रश्न: ₹10,000 पर 10% वार्षिक, 2 वर्ष का CI − SI?
10000 × (1/10)² = ₹100
10000 × (1/10)² = ₹100
प्रश्न: 5% पर 2 वर्ष का CI − SI = ₹50। मूलधन?
P × (1/20)² = 50 → P = ₹20,000
P × (1/20)² = 50 → P = ₹20,000
प्रश्न: ₹10,000 पर 10%, 3 वर्ष का CI − SI?
10000 × 0.01 × 3.1 = ₹310 (3310 − 3000)
10000 × 0.01 × 3.1 = ₹310 (3310 − 3000)
प्रश्न: 2 वर्ष का SI ₹400, CI ₹420। दर और मूलधन?
1 वर्ष SI 200; 20/200 = 10% → P = ₹2,000
1 वर्ष SI 200; 20/200 = 10% → P = ₹2,000
प्रश्न: ₹8,000 पर 2 वर्ष का CI − SI = ₹20। दर?
8000 × R²/10000 = 20 → R² = 25 → 5%
8000 × R²/10000 = 20 → R² = 25 → 5%
प्रश्न: ₹5,000 पर 10% वार्षिक, 1 वर्ष, अर्धवार्षिक CI − SI?
CI = 5000 × 1.1025 − 5000 = 512.50; SI 500 → ₹12.50
CI = 5000 × 1.1025 − 5000 = 512.50; SI 500 → ₹12.50
SI बनाम CI Comparison
| बात | साधारण ब्याज (SI) | चक्रवृद्धि ब्याज (CI) |
|---|---|---|
| ब्याज किस पर | केवल मूलधन पर | मूलधन + पिछला ब्याज (मिश्रधन) पर |
| हर वर्ष का ब्याज | समान (P R/100) | हर वर्ष (1 + R/100) गुना बढ़ता है |
| बढ़त | सीधी रेखा (समांतर श्रेणी) | गुणोत्तर (गुणोत्तर श्रेणी) |
| पहला वर्ष | वार्षिक संयोजन पर CI = SI; दूसरे वर्ष से CI > SI | |
| राशि दोगुनी | RT = 100 | n वर्ष में 2 गुनी → kn वर्ष में 2ᵏ गुनी |
प्रश्न: 10% पर CI में पहले वर्ष का ब्याज ₹500। दूसरे वर्ष का ब्याज?
500 × 1.1 = ₹550 (CI 2 वर्ष = ₹1,050)
500 × 1.1 = ₹550 (CI 2 वर्ष = ₹1,050)
प्रश्न: किसी राशि पर 2 वर्ष का CI ₹410 और SI ₹400। दर?
SI 1 वर्ष = 200, अंतर 10 → 10/200 × 100 = 5% (P = ₹4,000)
SI 1 वर्ष = 200, अंतर 10 → 10/200 × 100 = 5% (P = ₹4,000)
"भिन्न विधि": 10% = 1/10 → मूलधन 1000 मानो: 1 वर्ष 100, 2 वर्ष 100 + 110 = 210। CI − SI = 10 = 1000 का (1/10)²। 5% = 1/20 → 400 मानो; अंतर = 1 इकाई।
"2 वर्ष का CI − SI दिया, मूलधन?" · "3 वर्ष का CI − SI" · "SI और CI दोनों दिए, दर/मूलधन?" · "अंतर दिया, दर?" · "पहले वर्ष का CI दिया, दूसरे वर्ष का?" · "SI और CI में अंतर (कथन)"