Chapter 10 · Arithmetic
समय एवं कार्य
Time and Work📅1 दिन का कामn दिन में पूरा → 1 दिन में 1/n
⚡दक्षता1 दिन में किया काम; समय के उल्टे अनुपात में
🧱कुल कामदिनों का LCM मान लो (इकाइयाँ)
💵मज़दूरीकिए गए काम के अनुपात में
A: a दिन, B: b दिन → साथ में ab ÷ (a + b) दिन
A, B, C: abc ÷ (ab + bc + ca) दिन
A + B मिलकर t दिन, A अकेला a दिन → B = at ÷ (a − t) दिन
कुल काम = दक्षता × समय | दक्षता का अनुपात = समय का उल्टा अनुपात
A, B, C: abc ÷ (ab + bc + ca) दिन
A + B मिलकर t दिन, A अकेला a दिन → B = at ÷ (a − t) दिन
कुल काम = दक्षता × समय | दक्षता का अनुपात = समय का उल्टा अनुपात
LCM विधि: कुल काम = दिनों का LCM; हर एक की दक्षता = LCM ÷ उसके दिन
A, B से k गुना दक्ष → A का समय = B का समय ÷ k
x% अधिक दक्ष → समय = B का समय × 100/(100 + x)
काम का 1/m भाग d दिन में → पूरा काम m × d दिन में
A, B से k गुना दक्ष → A का समय = B का समय ÷ k
x% अधिक दक्ष → समय = B का समय × 100/(100 + x)
काम का 1/m भाग d दिन में → पूरा काम m × d दिन में
प्रश्न: A 10 दिन, B 15 दिन। साथ में?
10 × 15/25 = 6 दिन
10 × 15/25 = 6 दिन
प्रश्न: A, B, C क्रमशः 10, 12, 15 दिन। तीनों साथ?
LCM 60; 6 + 5 + 4 = 15 → 4 दिन
LCM 60; 6 + 5 + 4 = 15 → 4 दिन
प्रश्न: A + B 12 दिन, A अकेला 20 दिन। B अकेला?
20 × 12/(20 − 12) = 30 दिन
20 × 12/(20 − 12) = 30 दिन
प्रश्न: A, B से दोगुना दक्ष; दोनों साथ 14 दिन। A अकेला?
दक्षता 2 : 1, काम = 3 × 14 = 42 → A = 42/2 = 21 दिन
दक्षता 2 : 1, काम = 3 × 14 = 42 → A = 42/2 = 21 दिन
प्रश्न: A, B से 50% अधिक दक्ष; B 30 दिन लेता है। A अकेला और दोनों साथ?
A = 30 × 100/150 = 20 दिन; साथ 20 × 30/50 = 12 दिन
A = 30 × 100/150 = 20 दिन; साथ 20 × 30/50 = 12 दिन
प्रश्न: A काम का 1/3 भाग 5 दिन में करता है। पूरा काम?
3 × 5 = 15 दिन
3 × 5 = 15 दिन
जोड़ियाँ: A + B 12 दिन, B + C 15 दिन, C + A 20 दिन। तीनों साथ? A अकेला?
LCM 60: 2(A + B + C) = 5 + 4 + 3 = 12 → A + B + C = 6/दिन → 10 दिन; A = 6 − 4 = 2/दिन → 30 दिन
LCM 60: 2(A + B + C) = 5 + 4 + 3 = 12 → A + B + C = 6/दिन → 10 दिन; A = 6 − 4 = 2/दिन → 30 दिन
मज़दूरी: A 6 दिन, B 8 दिन; दोनों साथ काम करके ₹2,800 पाते हैं। A का भाग?
दक्षता 4 : 3 → A = 2800 × 4/7 = ₹1,600, B = ₹1,200
दक्षता 4 : 3 → A = 2800 × 4/7 = ₹1,600, B = ₹1,200
"साथ में" = दक्षताएँ जोड़ो; बचा काम = कुल इकाइयाँ − किया काम। मज़दूरी किए गए काम (दक्षता × दिन) के अनुपात में।
"दो/तीन व्यक्ति साथ में कितने दिन" · "साथ और एक के दिन से दूसरे के दिन" · "k गुना / x% अधिक दक्ष" · "जोड़ियों (A + B, B + C, C + A) के दिन" · "काम का भिन्न भाग" · "मज़दूरी का बँटवारा"
कार्य के प्रश्न: मज़दूर, दिन, घंटे Work: Men, Days, Hours
मुख्य सूत्र
M₁D₁H₁ ÷ W₁ = M₂D₂H₂ ÷ W₂
M = व्यक्ति, D = दिन, H = घंटे प्रतिदिन, W = काम
काम समान हो तो M₁D₁ = M₂D₂ (व्यक्ति बढ़े → दिन घटे)
M₁D₁H₁ ÷ W₁ = M₂D₂H₂ ÷ W₂
M = व्यक्ति, D = दिन, H = घंटे प्रतिदिन, W = काम
काम समान हो तो M₁D₁ = M₂D₂ (व्यक्ति बढ़े → दिन घटे)
पुरुष-स्त्री-बालक: पहले एक को दूसरे में बदलो (जैसे 3 पुरुष = 6 स्त्री → 1 पुरुष = 2 स्त्री)
बीच में छोड़ना: हर व्यक्ति ने जितने दिन काम किया, उतनी ही इकाइयाँ गिनो
बारी-बारी (एकांतर) दिन: 2 दिन का एक चक्र बनाओ
बीच में छोड़ना: हर व्यक्ति ने जितने दिन काम किया, उतनी ही इकाइयाँ गिनो
बारी-बारी (एकांतर) दिन: 2 दिन का एक चक्र बनाओ
प्रश्न: 12 व्यक्ति एक काम 18 दिन में। 27 व्यक्ति कितने दिन में?
12 × 18 ÷ 27 = 8 दिन
12 × 18 ÷ 27 = 8 दिन
प्रश्न: 10 व्यक्ति, 8 घंटे/दिन, 12 दिन में 1 दीवार। 16 व्यक्ति, 6 घंटे/दिन, 2 दीवारें?
10 × 12 × 8/1 = 16 × D × 6/2 → 960 = 48D → 20 दिन
10 × 12 × 8/1 = 16 × D × 6/2 → 960 = 48D → 20 दिन
प्रश्न: 3 पुरुष या 6 स्त्रियाँ काम 16 दिन में। 12 पुरुष + 8 स्त्रियाँ?
1 पुरुष = 2 स्त्री → 32 स्त्री; 6 × 16 = 96 → 96/32 = 3 दिन
1 पुरुष = 2 स्त्री → 32 स्त्री; 6 × 16 = 96 → 96/32 = 3 दिन
प्रश्न: A 12 दिन, B 18 दिन। A 4 दिन काम करके हट गया। शेष B कितने दिन में?
LCM 36: A 3, B 2 → 4 × 3 = 12; बचा 24 → 12 दिन
LCM 36: A 3, B 2 → 4 × 3 = 12; बचा 24 → 12 दिन
प्रश्न: A 20 दिन, B 30 दिन; साथ शुरू, A काम पूरा होने से 5 दिन पहले हट गया। कुल समय?
LCM 60: 3(T − 5) + 2T = 60 → T = 15 दिन
LCM 60: 3(T − 5) + 2T = 60 → T = 15 दिन
प्रश्न: A 10 दिन, B 15 दिन; बारी-बारी काम, पहले दिन A। कुल दिन?
LCM 30; 2 दिन में 3 + 2 = 5 → 6 चक्र = 30 → 12 दिन
LCM 30; 2 दिन में 3 + 2 = 5 → 6 चक्र = 30 → 12 दिन
मज़दूरी, तीसरे की मदद: A 6 दिन, B 8 दिन; C की मदद से तीनों 3 दिन में पूरा करते हैं, कुल ₹3,200। C का भाग?
3 दिन में A = 1/2, B = 3/8 → C = 1 − 1/2 − 3/8 = 1/8 → ₹400
3 दिन में A = 1/2, B = 3/8 → C = 1 − 1/2 − 3/8 = 1/8 → ₹400
व्यक्ति-दिन: 15 व्यक्ति 20 दिन में काम पूरा करते। 5 दिन बाद 5 व्यक्ति चले गए। शेष काम कितने दिन में?
बचा काम = 15 × 15 = 225 व्यक्ति-दिन → 225/10 = 22.5 दिन
बचा काम = 15 × 15 = 225 व्यक्ति-दिन → 225/10 = 22.5 दिन
| स्थिति | कैसे सोचें |
|---|---|
| व्यक्ति बढ़े, काम समान | दिन उल्टे अनुपात में घटते हैं (M₁D₁ = M₂D₂) |
| काम दोगुना | दाईं ओर W = 2 रखो; समान व्यक्तियों को दोगुने दिन |
| बीच में कोई हटा/जुड़ा | पहले हुआ काम इकाइयों में घटाओ, बचे काम ÷ नई दक्षता |
| "काम पूरा होने से x दिन पहले हटा" | वह (T − x) दिन, बाकी T दिन काम करते हैं |
MDH/W में दोनों तरफ़ की एक जैसी इकाइयाँ रखो (घंटे/दिन, दिन, एक जैसा काम)। बारी-बारी वाले प्रश्न में अंतिम अधूरे चक्र में देखो कि किसकी बारी है।
"व्यक्ति बढ़ाने/घटाने पर दिन" · "M₁D₁H₁/W₁ = M₂D₂H₂/W₂" · "पुरुष-स्त्री तुलना" · "कुछ दिन बाद एक हटा" · "पूरा होने से x दिन पहले हटा" · "एकांतर दिन" · "तीसरे व्यक्ति की मदद, मज़दूरी"
नल एवं टंकी Pipes and Cistern
A x घंटे में भरे, B y घंटे में भरे → साथ xy ÷ (x + y)
A x घंटे में भरे, B y घंटे में खाली करे (y > x) → साथ xy ÷ (y − x)
1 घंटे का काम = 1/x + 1/y − 1/z … (खाली करने वाले पर ऋण)
A x घंटे में भरे, B y घंटे में खाली करे (y > x) → साथ xy ÷ (y − x)
1 घंटे का काम = 1/x + 1/y − 1/z … (खाली करने वाले पर ऋण)
रिसाव: नल x घंटे में भरता, रिसाव से y घंटे लगे → रिसाव भरी टंकी को xy ÷ (y − x) घंटे में खाली करेगा
LCM विधि यहाँ भी: टंकी की क्षमता = LCM इकाई, नल की दर ±
LCM विधि यहाँ भी: टंकी की क्षमता = LCM इकाई, नल की दर ±
प्रश्न: दो नल 20 और 30 मिनट में भरते हैं। साथ?
20 × 30/50 = 12 मिनट
20 × 30/50 = 12 मिनट
प्रश्न: A 3 घंटे में भरता, B 4 घंटे में खाली करता। दोनों खुले?
3 × 4/(4 − 3) = 12 घंटे
3 × 4/(4 − 3) = 12 घंटे
प्रश्न: A 12 घंटे, B 15 घंटे में भरते; C 20 घंटे में खाली करता। तीनों खुले?
LCM 60: 5 + 4 − 3 = 6 → 10 घंटे
LCM 60: 5 + 4 − 3 = 6 → 10 घंटे
प्रश्न: नल टंकी 6 घंटे में भरता, रिसाव के कारण 8 घंटे लगे। रिसाव भरी टंकी खाली करेगा?
6 × 8/(8 − 6) = 24 घंटे
6 × 8/(8 − 6) = 24 घंटे
प्रश्न: A 10 मिनट, B 15 मिनट में भरते। दोनों खोले, 3 मिनट बाद A बंद। कुल समय?
LCM 30: 3 × 5 = 15; बचा 15 ÷ 2 = 7.5 → 10.5 मिनट
LCM 30: 3 × 5 = 15; बचा 15 ÷ 2 = 7.5 → 10.5 मिनट
प्रश्न: दो नल 10 और 12 घंटे में भरते, तीसरा खाली करता है। तीनों खुले तो 7½ घंटे। तीसरा अकेला?
LCM 60: 6 + 5 − C = 60/7.5 = 8 → C = 3 → 20 घंटे
LCM 60: 6 + 5 − C = 60/7.5 = 8 → C = 3 → 20 घंटे
क्षमता: रिसाव भरी टंकी को 6 घंटे में खाली करता है। 4 लीटर/मिनट वाला नल खोलने पर भरी टंकी 8 घंटे में खाली होती है। क्षमता?
रिसाव − नल = C/8 → C/6 − C/8 = 240 लीटर/घंटा → C/24 = 240 → 5,760 लीटर
रिसाव − नल = C/8 → C/6 − C/8 = 240 लीटर/घंटा → C/24 = 240 → 5,760 लीटर
नल-टंकी = समय एवं कार्य, बस खाली करने वाले नल/रिसाव की दक्षता ऋणात्मक लो। उत्तर ऋणात्मक आए तो टंकी भरेगी नहीं, खाली होगी।
साथ भरना: xy/(x + y) · भरना + खाली: xy/(y − x) · रिसाव: xy/(y − x) · काम का सूत्र: M₁D₁H₁/W₁ = M₂D₂H₂/W₂
"दो/तीन नल साथ" · "भरने और खाली करने वाले नल साथ" · "रिसाव से देरी, रिसाव कितने समय में खाली" · "कुछ समय बाद नल बंद" · "तीसरे नल का समय" · "लीटर में टंकी की क्षमता"
कार्य एवं नल: और प्रकार More Work and Pipe Types
बारी-बारी, अधूरा चक्र: पूरे चक्रों का काम घटाओ; बचा काम उसी को मिलेगा जिसकी बारी है → बचा ÷ उसकी दक्षता = भिन्न दिन/घंटा
बाद में जुड़ा: पहले अकेले का काम घटाओ, बचा ÷ (दोनों की दक्षता)
मज़दूरी = दक्षता × काम के दिन के अनुपात में
बाद में जुड़ा: पहले अकेले का काम घटाओ, बचा ÷ (दोनों की दक्षता)
मज़दूरी = दक्षता × काम के दिन के अनुपात में
श्रृंखला तुलना: 2 पुरुष = 3 स्त्री = 4 बालक → सबको एक इकाई (बालक) में बदलो
नल k गुना तेज़ → दरें k : 1, क्षमता = (k + 1) × साथ का समय
"x कम दिन लेता है, साथ t दिन" → विकल्प रखकर जाँचो: ab/(a + b) = t
नल k गुना तेज़ → दरें k : 1, क्षमता = (k + 1) × साथ का समय
"x कम दिन लेता है, साथ t दिन" → विकल्प रखकर जाँचो: ab/(a + b) = t
प्रश्न: A 12 दिन, B 18 दिन; बारी-बारी, पहले A। कुल दिन?
LCM 36: A 3, B 2; 7 चक्र (14 दिन) = 35; बचा 1, बारी A की → 1/3 → 14⅓ दिन
LCM 36: A 3, B 2; 7 चक्र (14 दिन) = 35; बचा 1, बारी A की → 1/3 → 14⅓ दिन
प्रश्न: वही, पर पहले B शुरू करे?
14 दिन में 35; बचा 1, बारी B की → 1/2 → 14½ दिन
14 दिन में 35; बचा 1, बारी B की → 1/2 → 14½ दिन
प्रश्न: नल A 4 घंटे, B 6 घंटे में भरते; एक-एक घंटा बारी-बारी, पहले A। कुल समय?
LCM 12: 3, 2; 4 घंटे में 10; बचा 2, बारी A → 2/3 घंटा → 4 घंटे 40 मिनट
LCM 12: 3, 2; 4 घंटे में 10; बचा 2, बारी A → 2/3 घंटा → 4 घंटे 40 मिनट
प्रश्न: नल A, B से दोगुना तेज़; दोनों साथ 12 मिनट में भरते। A अकेला? B अकेला?
दर 2 : 1, क्षमता 3 × 12 = 36 → A 18 मिनट, B 36 मिनट
दर 2 : 1, क्षमता 3 × 12 = 36 → A 18 मिनट, B 36 मिनट
प्रश्न: A 20 मिनट, B 30 मिनट में भरते; दोनों खुले, B को टंकी भरने से 5 मिनट पहले बंद किया। कुल समय?
LCM 60: 3T + 2(T − 5) = 60 → T = 14 मिनट
LCM 60: 3T + 2(T − 5) = 60 → T = 14 मिनट
प्रश्न: A (20 दिन) काम शुरू करता है; 5 दिन बाद B (30 दिन) जुड़ता है। कुल दिन?
LCM 60: 5 × 3 = 15; बचा 45 ÷ 5 = 9 → 14 दिन
LCM 60: 5 × 3 = 15; बचा 45 ÷ 5 = 9 → 14 दिन
प्रश्न: ऊपर वाले काम की कुल मज़दूरी ₹2,100। बँटवारा?
A: 14 × 3 = 42, B: 9 × 2 = 18 → 7 : 3 → A ₹1,470, B ₹630
A: 14 × 3 = 42, B: 9 × 2 = 18 → 7 : 3 → A ₹1,470, B ₹630
प्रश्न: 2 पुरुष = 3 स्त्री = 4 बालक। 6 पुरुष काम 8 दिन में। 4 पुरुष + 6 स्त्री + 8 बालक?
बालक में: 6 पु = 12 → 96 बालक-दिन; 8 + 8 + 8 = 24 → 4 दिन
बालक में: 6 पु = 12 → 96 बालक-दिन; 8 + 8 + 8 = 24 → 4 दिन
प्रश्न: A, B से 5 दिन कम लेता है; दोनों साथ 6 दिन। अलग-अलग?
जाँचो: 10 और 15 → 150/25 = 6 ✔ → A 10, B 15 दिन
जाँचो: 10 और 15 → 150/25 = 6 ✔ → A 10, B 15 दिन
बारी-बारी वाले प्रश्न में सीधे "कुल ÷ चक्र" का उत्तर मत लिखो; अंत में देखो किसकी बारी है, उत्तर उसी पर बदलता है (14⅓ बनाम 14½)।
"बारी-बारी, उत्तर भिन्न में" · "कौन पहले शुरू करे" · "नल बारी-बारी" · "नल k गुना तेज़" · "भरने से पहले नल बंद" · "बाद में जुड़ा" · "अलग दिनों पर मज़दूरी" · "पुरुष-स्त्री-बालक" · "x दिन कम, साथ t दिन"