Chapter 10 · Visual Reasoning
वेन आरेख — संबंध दिखाना
Venn Diagrams — Showing Relationshipsपूरा अंदर (उपसमुच्चय)हर A, B भी है
बिल्ली ⊂ स्तनधारी
बिल्ली ⊂ स्तनधारी
आंशिक (कुछ साझा)कुछ A, B हैं; कुछ नहीं
शिक्षक ∩ महिलाएँ
शिक्षक ∩ महिलाएँ
बिल्कुल अलगकोई A, B नहीं है
पेन और कुत्ता
पेन और कुत्ता
एक ही (समान)दोनों एक ही वर्ग → एक वृत्त
डॉक्टर = चिकित्सक · जल = पानी
डॉक्टर = चिकित्सक · जल = पानी
| चित्र | संबंध | परीक्षा में आने वाले उदाहरण |
|---|---|---|
| ① | एक के अंदर दूसरा, उसके अंदर तीसरा | भारत–उत्तर प्रदेश–लखनऊ · जानवर–स्तनधारी–बिल्ली · ब्रह्मांड–सौरमंडल–पृथ्वी |
| ② | बड़े के अंदर दो अलग-अलग | लेखन सामग्री–पेन–पेंसिल · अभिभावक–पिता–माता · फूल–गुलाब–कमल |
| ③ | तीनों अलग | गाय–कुर्सी–किताब · पेन–घड़ी–जूता |
| ④ | दो आंशिक, तीसरा अलग | शिक्षक–गायक–मेज़ · महिलाएँ–डॉक्टर–कुर्सी |
| ⑤ | तीनों आपस में आंशिक | शिक्षक–महिलाएँ–स्नातक · खिलाड़ी–छात्र–भारतीय |
| ⑥ | एक दूसरे के अंदर, तीसरा अलग | फल–आम–आलू · पक्षी–तोता–मछली |
| ⑦ | बड़े के अंदर दो आंशिक | मनुष्य–शिक्षक–स्नातक · मनुष्य–पिता–डॉक्टर |
| ⑧ | बीच वाला दोनों से आंशिक, बाहर वाले अलग | पुरुष–डॉक्टर–महिलाएँ · लड़के–छात्र–लड़कियाँ |
पहले पूछो: क्या A हमेशा B है? (हाँ → अंदर) · क्या कुछ A, B हो सकते हैं? (हाँ → आंशिक) · कभी नहीं? (→ अलग)। "पुरुष और महिला" हमेशा अलग; "डॉक्टर" दोनों में हो सकता है।
"नीचे दिए वर्गों का सही वेन आरेख चुनिए: पुरुष, डॉक्टर, महिलाएँ" · "भारत, उत्तर प्रदेश, लखनऊ" · "पेन, पेंसिल, लेखन सामग्री"
चित्र में संख्या पढ़ना और सूत्र Reading Figures & Set Formulas
| प्रश्न | क्षेत्र | उत्तर |
|---|---|---|
| महिला शिक्षक जो खिलाड़ी नहीं | वृत्त ∩ त्रिभुज, वर्ग के बाहर | 5 |
| खिलाड़ी शिक्षक (कुल) | 3 + 2 | 5 |
| केवल खिलाड़ी | वर्ग अकेला | 11 |
| महिला खिलाड़ी जो शिक्षक नहीं | वर्ग ∩ त्रिभुज, वृत्त के बाहर | 7 |
| कुल शिक्षक | 14 + 3 + 5 + 2 | 24 |
| ठीक दो वर्गों में | 3 + 7 + 5 | 15 |
| तीनों में से कोई नहीं | आयत में, आकृतियों के बाहर | 9 |
| गाँव के कुल लोग | 14+11+13+3+7+5+2+9 | 64 |
आकृति वृत्त, वर्ग, त्रिभुज या आयत — कोई भी हो, विधि वही: हर संख्या जिस-जिस आकृति के अंदर है, वह उन्हीं वर्गों की है। बाहरी आयत = सभी (कुल)। प्रश्न में "जो … नहीं" आए तो उस वर्ग वाला क्षेत्र छोड़ दो। "केवल" = दूसरे किसी वर्ग में नहीं। "कुल" = उस आकृति के सारे क्षेत्र जोड़ो।
दो समुच्चय (Two sets)
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B)
केवल A = n(A) − n(A ∩ B)
दोनों में से कोई नहीं = कुल − n(A ∪ B)
"दोनों" अधिकतम = छोटे वर्ग जितना · न्यूनतम = A + B − कुल (ऋण आए तो 0)
केवल A = n(A) − n(A ∩ B)
दोनों में से कोई नहीं = कुल − n(A ∪ B)
"दोनों" अधिकतम = छोटे वर्ग जितना · न्यूनतम = A + B − कुल (ऋण आए तो 0)
50 छात्र: 30 को चाय, 25 को कॉफ़ी, 10 को दोनों पसंद
कम से कम एक = 30 + 25 − 10 = 45 · कोई नहीं = 50 − 45 = 5
केवल चाय = 30 − 10 = 20 · केवल कॉफ़ी = 15
कम से कम एक = 30 + 25 − 10 = 45 · कोई नहीं = 50 − 45 = 5
केवल चाय = 30 − 10 = 20 · केवल कॉफ़ी = 15
प्रतिशत वाला: 60% अंग्रेज़ी में, 70% हिंदी में और 40% दोनों में पास। दोनों में फ़ेल?
कम से कम एक में पास = 60 + 70 − 40 = 90% → दोनों में फ़ेल = 10%
कम से कम एक में पास = 60 + 70 − 40 = 90% → दोनों में फ़ेल = 10%
40 छात्र: 28 क्रिकेट, 20 फ़ुटबॉल खेलते हैं, हर छात्र कम से कम एक खेलता है। दोनों खेलने वाले?
28 + 20 − 40 = 8
(अगर कोई शर्त न हो: न्यूनतम 8, अधिकतम 20)
28 + 20 − 40 = 8
(अगर कोई शर्त न हो: न्यूनतम 8, अधिकतम 20)
तीनों वाला अज्ञात (x): 50 छात्रों में हर कोई कम से कम एक विषय पढ़ता है — हिंदी 30, अंग्रेज़ी 25, गणित 20; हिंदी-अंग्रेज़ी 10, अंग्रेज़ी-गणित 8, हिंदी-गणित 9। तीनों पढ़ने वाले?
50 = 75 − 27 + x → x = 2 · जाँच: केवल हिंदी 13, केवल अंग्रेज़ी 9, केवल गणित 5, केवल दो वाले 8 + 6 + 7, तीनों 2 → कुल 50 ✓
50 = 75 − 27 + x → x = 2 · जाँच: केवल हिंदी 13, केवल अंग्रेज़ी 9, केवल गणित 5, केवल दो वाले 8 + 6 + 7, तीनों 2 → कुल 50 ✓
"चित्र में कितनी महिला शिक्षक खिलाड़ी नहीं हैं?" · "तीनों वाला x ज्ञात करो" · "60% अंग्रेज़ी, 70% हिंदी, 40% दोनों में पास — दोनों में फ़ेल कितने प्रतिशत?" · "चाय या कॉफ़ी में से कोई नहीं पीने वाले कितने?"
तीन समुच्चय के सूत्र Three-Set Formulas
n(A ∪ B ∪ C) = A + B + C − (AB + BC + CA) + ABC
(AB = n(A ∩ B), यानी दोनों में — तीनों वाले भी इसमें गिने हुए हैं)
ठीक दो में = (AB + BC + CA) − 3·ABC · ठीक एक में = A + B + C − 2(AB + BC + CA) + 3·ABC
कम से कम दो में = (AB + BC + CA) − 2·ABC · केवल A = A − AB − CA + ABC · कोई नहीं = कुल − n(A ∪ B ∪ C)
(AB = n(A ∩ B), यानी दोनों में — तीनों वाले भी इसमें गिने हुए हैं)
ठीक दो में = (AB + BC + CA) − 3·ABC · ठीक एक में = A + B + C − 2(AB + BC + CA) + 3·ABC
कम से कम दो में = (AB + BC + CA) − 2·ABC · केवल A = A − AB − CA + ABC · कोई नहीं = कुल − n(A ∪ B ∪ C)
100 छात्र: हिंदी 50, अंग्रेज़ी 40, संस्कृत 30 · हिंदी-अंग्रेज़ी 15, अंग्रेज़ी-संस्कृत 10, हिंदी-संस्कृत 12, तीनों 5
कम से कम एक = 120 − 37 + 5 = 88
कोई नहीं = 100 − 88 = 12
ठीक दो = 37 − 15 = 22
ठीक एक = 120 − 74 + 15 = 61 (जाँच: 61 + 22 + 5 = 88 ✓)
कम से कम एक = 120 − 37 + 5 = 88
कोई नहीं = 100 − 88 = 12
ठीक दो = 37 − 15 = 22
ठीक एक = 120 − 74 + 15 = 61 (जाँच: 61 + 22 + 5 = 88 ✓)
उसी प्रश्न में "केवल":
केवल हिंदी = 50 − 15 − 12 + 5 = 28
केवल अंग्रेज़ी = 40 − 15 − 10 + 5 = 20
केवल संस्कृत = 30 − 10 − 12 + 5 = 13
28 + 20 + 13 = 61 ✓
केवल हिंदी-अंग्रेज़ी (संस्कृत नहीं) = 15 − 5 = 10
कम से कम दो = 37 − 2 × 5 = 27 (= 22 + 5 ✓)
केवल हिंदी = 50 − 15 − 12 + 5 = 28
केवल अंग्रेज़ी = 40 − 15 − 10 + 5 = 20
केवल संस्कृत = 30 − 10 − 12 + 5 = 13
28 + 20 + 13 = 61 ✓
केवल हिंदी-अंग्रेज़ी (संस्कृत नहीं) = 15 − 5 = 10
कम से कम दो = 37 − 2 × 5 = 27 (= 22 + 5 ✓)
तीन वृत्त वाले प्रश्नों में हमेशा बीच (तीनों) से शुरू करो, फिर "केवल दो" भरो (दोनों − तीनों), फिर "केवल एक"। अंत में सब जोड़कर कुल से मिलाओ।
"15 हिंदी और अंग्रेज़ी दोनों पढ़ते हैं" में तीनों वाले 5 भी शामिल हैं। "केवल हिंदी और अंग्रेज़ी" लिखा हो तभी वह संख्या सीधे क्षेत्र में भरो।
| शब्द | मतलब | सूत्र / क्षेत्र |
|---|---|---|
| A या B (कम से कम एक) | संघ (Union) ∪ | A + B − AB |
| A और B दोनों | सर्वनिष्ठ (Intersection) ∩ | बीच का साझा भाग |
| केवल A | अंतर A − B | A − AB |
| न A न B | पूरक (Complement) | कुल − (A ∪ B) |
| A या B, पर दोनों नहीं | ठीक एक | A + B − 2·AB |
दो वर्ग, "ठीक एक": 70 लोग हिंदी, 50 अंग्रेज़ी बोलते हैं, 20 दोनों। केवल एक भाषा? 70 + 50 − 2 × 20 = 80
दो वृत्त → 3 भाग, तीन वृत्त → 7 भाग (+ बाहर)। हर भाग की संख्या केवल एक बार गिनो।
"हिंदी 50, अंग्रेज़ी 40, संस्कृत 30 … कितने छात्र कोई भाषा नहीं पढ़ते?" · "ठीक दो विषय पढ़ने वाले?" · "केवल हिंदी पढ़ने वाले?" · "केवल एक भाषा बोलने वाले?"