Chapter 7 · Arithmetic
लाभ एवं हानि
Profit & Lossलाभ%/हानि% सदा CP पर (जब तक प्रश्न कुछ और न कहे)
लाभ% = (लाभ ÷ CP) × 100 | हानि% = (हानि ÷ CP) × 100
SP = CP × (100 + लाभ%)/100
SP = CP × (100 − हानि%)/100
CP = SP × 100/(100 + लाभ%) | CP = SP × 100/(100 − हानि%)
लाभ% = (लाभ ÷ CP) × 100 | हानि% = (हानि ÷ CP) × 100
SP = CP × (100 + लाभ%)/100
SP = CP × (100 − हानि%)/100
CP = SP × 100/(100 + लाभ%) | CP = SP × 100/(100 − हानि%)
ऊपरी ख़र्च (मरम्मत, भाड़ा, कर) CP में जुड़ता है।
x वस्तुओं का CP = y वस्तुओं का SP → लाभ% = (x − y)/y × 100 (x < y हो तो हानि)
x पर हानि = y पर लाभ → CP = (x + y)/2
x वस्तुओं का CP = y वस्तुओं का SP → लाभ% = (x − y)/y × 100 (x < y हो तो हानि)
x पर हानि = y पर लाभ → CP = (x + y)/2
प्रश्न: CP ₹400, 20% लाभ। SP?
400 × 120/100 = ₹480
400 × 120/100 = ₹480
प्रश्न: SP ₹540 पर 10% हानि। CP?
540 × 100/90 = ₹600
540 × 100/90 = ₹600
प्रश्न: SP ₹690 पर 15% लाभ। CP?
690 × 100/115 = ₹600
690 × 100/115 = ₹600
प्रश्न: साइकिल ₹4,500 में ख़रीदी, ₹500 मरम्मत, ₹5,500 में बेची। लाभ%?
CP = 5000 → 1000/5000 = 20%
CP = 5000 → 1000/5000 = 20%
प्रश्न: 20 वस्तुओं का CP = 16 वस्तुओं का SP। लाभ%?
(20 − 16)/16 × 100 = 25% लाभ
(20 − 16)/16 × 100 = 25% लाभ
प्रश्न: ₹450 पर बेचने से जितनी हानि, ₹550 पर उतना लाभ। CP?
(450 + 550)/2 = ₹500
(450 + 550)/2 = ₹500
प्रश्न: ₹960 में बेचने पर 20% हानि। 10% लाभ के लिए किस मूल्य पर बेचें?
CP = 960 × 100/80 = 1200 → SP = 1200 × 1.1 = ₹1,320
CP = 960 × 100/80 = 1200 → SP = 1200 × 1.1 = ₹1,320
प्रश्न: ₹50 अधिक में बेचता तो 5% अधिक लाभ होता। CP?
CP का 5% = 50 → CP = ₹1,000
CP का 5% = 50 → CP = ₹1,000
प्रश्न: 10% हानि पर बेचा; ₹90 अधिक मिलते तो 5% लाभ। CP?
5 − (−10) = 15% = 90 → ₹600
5 − (−10) = 15% = 90 → ₹600
गुणक विधि: 20% लाभ = × 6/5 · 25% लाभ = × 5/4 · 10% हानि = × 9/10 · 20% हानि = × 4/5। CP से SP के लिए गुणा, SP से CP के लिए भाग।
"CP और लाभ% से SP" · "SP और हानि% से CP" · "मरम्मत/भाड़ा जोड़कर लाभ%" · "x वस्तुओं का CP = y का SP" · "x पर हानि = y पर लाभ" · "₹ x अधिक में बेचता तो y% अधिक लाभ"
अंकित मूल्य एवं बट्टा Marked Price & Discount
अंकित मूल्य (MP) = वस्तु पर लिखा मूल्य
बट्टा (छूट) = MP − SP, हमेशा MP पर
बट्टा% = (बट्टा ÷ MP) × 100
SP = MP × (100 − बट्टा%)/100
बट्टा (छूट) = MP − SP, हमेशा MP पर
बट्टा% = (बट्टा ÷ MP) × 100
SP = MP × (100 − बट्टा%)/100
MP और CP का संबंध:
MP/CP = (100 + लाभ%)/(100 − बट्टा%)
x% ऊपर अंकित, y% बट्टा → लाभ% = x − y − xy/100
MP/CP = (100 + लाभ%)/(100 − बट्टा%)
x% ऊपर अंकित, y% बट्टा → लाभ% = x − y − xy/100
प्रश्न: MP ₹800, 15% बट्टा। SP?
800 × 85/100 = ₹680
800 × 85/100 = ₹680
प्रश्न: MP ₹1,250, SP ₹1,000। बट्टा%?
250/1250 × 100 = 20%
250/1250 × 100 = 20%
प्रश्न: CP ₹500, 40% ऊपर अंकित, 10% बट्टा। लाभ%?
40 − 10 − 4 = 26% (SP ₹630)
40 − 10 − 4 = 26% (SP ₹630)
प्रश्न: CP ₹600। 20% बट्टा देकर भी 20% लाभ चाहिए। MP?
600 × 120/80 = ₹900
600 × 120/80 = ₹900
प्रश्न: 10% बट्टा देकर 26% लाभ। MP, CP से कितना % अधिक?
MP/CP = 126/90 = 1.4 → 40%
MP/CP = 126/90 = 1.4 → 40%
प्रश्न: 12% बट्टे पर SP ₹880। MP? → 880 × 100/88 = ₹1,000
क्रमागत बट्टा Successive discount
d₁% और d₂% → एकल समतुल्य बट्टा = d₁ + d₂ − d₁d₂/100
SP = MP × (100 − d₁)/100 × (100 − d₂)/100
क्रम बदलने से उत्तर नहीं बदलता। 20% + 10% ≠ 30%!
SP = MP × (100 − d₁)/100 × (100 − d₂)/100
क्रम बदलने से उत्तर नहीं बदलता। 20% + 10% ≠ 30%!
20% और 10% → 20 + 10 − 2 = 28%
MP ₹1,000 → 800 → ₹720
10%, 20%, 30% → 0.9 × 0.8 × 0.7 = 0.504 → 49.6%
25% और 20% → 25 + 20 − 5 = 40%
MP ₹1,000 → 800 → ₹720
10%, 20%, 30% → 0.9 × 0.8 × 0.7 = 0.504 → 49.6%
25% और 20% → 25 + 20 − 5 = 40%
n ख़रीदो, m मुफ़्त
बट्टा% = m/(n + m) × 100
"3 पर 1 मुफ़्त" = 1/4 = 25% · "4 पर 1 मुफ़्त" = 20% · "1 पर 1 मुफ़्त" = 50%
बट्टा% = m/(n + m) × 100
"3 पर 1 मुफ़्त" = 1/4 = 25% · "4 पर 1 मुफ़्त" = 20% · "1 पर 1 मुफ़्त" = 50%
प्रश्न: MP ₹2,000 पर दो योजनाएँ: (A) 30% एक बार, (B) 20% फिर 10%। कौन बेहतर, कितना?
A: ₹1,400; B: 2000 × 0.8 × 0.9 = ₹1,440 → A में ₹40 सस्ता
A: ₹1,400; B: 2000 × 0.8 × 0.9 = ₹1,440 → A में ₹40 सस्ता
लाभ/हानि CP पर, बट्टा MP पर — आधार मत मिलाओ।
"MP और बट्टा% से SP" · "बट्टा% ज्ञात करो" · "x% ऊपर अंकित और y% बट्टा, लाभ%?" · "बट्टा देकर भी x% लाभ, MP?" · "क्रमागत बट्टों का एकल समतुल्य" · "3 पर 1 मुफ़्त = ?% बट्टा"
बेईमान दुकानदार एवं दो वस्तुओं के प्रश्न False Weights & Two Articles
कम तौल (CP पर बेचे):
लाभ% = (सही तौल − ग़लत तौल)/ग़लत तौल × 100
कम तौल + दाम में लाभ/हानि:
लाभ% = [(100 ± r)/100 × सही तौल/ग़लत तौल − 1] × 100
लाभ% = (सही तौल − ग़लत तौल)/ग़लत तौल × 100
कम तौल + दाम में लाभ/हानि:
लाभ% = [(100 ± r)/100 × सही तौल/ग़लत तौल − 1] × 100
प्रश्न: 1 kg के बाट की जगह 900 g तौलता है, CP पर बेचता है। लाभ%?
100/900 × 100 = 11 1/9 %
प्रश्न: 800 g को 1 kg बताकर CP पर बेचे → 200/800 = 25%
100/900 × 100 = 11 1/9 %
प्रश्न: 800 g को 1 kg बताकर CP पर बेचे → 200/800 = 25%
प्रश्न: 10% लाभ पर बेचता है और 1 kg की जगह 800 g देता है। कुल लाभ%?
1.1 × 1000/800 = 1.375 → 37.5%
1.1 × 1000/800 = 1.375 → 37.5%
प्रश्न: 4% हानि पर बेचने का दावा, पर 1 kg की जगह 800 g देता है। वास्तविक?
0.96 × 1000/800 = 1.2 → 20% लाभ
0.96 × 1000/800 = 1.2 → 20% लाभ
दो वस्तुएँ Two articles
समान SP, एक पर x% लाभ, दूसरी पर x% हानि → सदा हानि = x²/100 %
समान CP, एक पर x% लाभ, दूसरी पर x% हानि → न लाभ न हानि
समान CP, एक पर x% लाभ, दूसरी पर x% हानि → न लाभ न हानि
प्रश्न: दो TV ₹9,900 प्रत्येक में बेचे, एक पर 10% लाभ, दूसरे पर 10% हानि। कुल?
हानि = 10²/100 = 1%
(CP 9,000 + 11,000 = 20,000; SP 19,800 → ₹200 हानि)
हानि = 10²/100 = 1%
(CP 9,000 + 11,000 = 20,000; SP 19,800 → ₹200 हानि)
प्रश्न: ₹900 में दो वस्तुएँ ख़रीदीं। एक को 20% लाभ, दूसरी को 10% हानि पर बेचा; कुल न लाभ न हानि। दोनों का CP?
0.2a = 0.1b → b = 2a → ₹300 और ₹600
0.2a = 0.1b → b = 2a → ₹300 और ₹600
प्रश्न: 10 वस्तुएँ बेचने पर 2 वस्तुओं के SP के बराबर लाभ। लाभ%?
CP(10) = SP(8) → लाभ = 2/8 × 100 = 25%
CP(10) = SP(8) → लाभ = 2/8 × 100 = 25%
प्रश्न: 12 वस्तुएँ बेचने पर 4 वस्तुओं के SP के बराबर हानि। हानि%?
CP(12) = SP(16) → हानि = 4/16 × 100 = 25%
CP(12) = SP(16) → हानि = 4/16 × 100 = 25%
प्रश्न: SP पर 20% लाभ। CP पर लाभ%?
SP = 100 → लाभ 20, CP 80 → 20/80 × 100 = 25%
SP = 100 → लाभ 20, CP 80 → 20/80 × 100 = 25%
प्रश्न: A ने वस्तु B को 20% लाभ पर, B ने C को 10% लाभ पर बेची। C ने ₹1,320 दिए। A का CP?
1320 ÷ (1.2 × 1.1) = 1320 ÷ 1.32 = ₹1,000
1320 ÷ (1.2 × 1.1) = 1320 ÷ 1.32 = ₹1,000
SP पर r% लाभ = CP पर r/(100 − r) × 100 %। कम तौल में जो सच में दिया, वह हर में।
"900 g को 1 kg बताकर बेचे, लाभ%" · "कम तौल + x% लाभ/हानि का दावा" · "दो वस्तुएँ समान SP पर, x% लाभ और x% हानि" · "कुल न लाभ न हानि, CP?" · "y वस्तुओं के SP जितना लाभ" · "A → B → C"
लाभ-हानि के विशेष प्रश्न Classic Profit & Loss Problems
"₹a में x वस्तुएँ" वाले प्रश्न: पहले 1 वस्तु का CP और SP निकालो, फिर लाभ% = (SP − CP)/CP × 100
CP, SP का x% हो → लाभ% = (100 − x)/x × 100 | SP का p/q भाग पर हानि/लाभ → पहले CP के रूप में SP लिखो
CP, SP का x% हो → लाभ% = (100 − x)/x × 100 | SP का p/q भाग पर हानि/लाभ → पहले CP के रूप में SP लिखो
वस्तुओं की संख्या वाले प्रश्न Articles per rupee
प्रश्न: 6 वस्तुएँ ₹5 में ख़रीदीं, 5 वस्तुएँ ₹6 में बेचीं। लाभ%?
1 का CP = 5/6, SP = 6/5 → (36 − 25)/25 × 100 = 44%
1 का CP = 5/6, SP = 6/5 → (36 − 25)/25 × 100 = 44%
प्रश्न: ₹10 में 12 संतरे ख़रीदे। 20% लाभ के लिए ₹10 में कितने बेचें?
1 का SP = 10/12 × 1.2 = 1 → 10 संतरे
1 का SP = 10/12 × 1.2 = 1 → 10 संतरे
प्रश्न: संतरे ₹1 के 3 ख़रीदे, ₹1 के 2 बेचे। लाभ%?
CP = 1/3, SP = 1/2 → (1/6)/(1/3) × 100 = 50%
CP = 1/3, SP = 1/2 → (1/6)/(1/3) × 100 = 50%
प्रश्न: ₹1 में 10 टॉफ़ी ख़रीदीं। 25% लाभ के लिए ₹1 में कितनी बेचें?
1 का SP = 0.1 × 1.25 = 0.125 → 1 ÷ 0.125 = 8
1 का SP = 0.1 × 1.25 = 0.125 → 1 ÷ 0.125 = 8
SP-CP संबंध वाले प्रश्न Relation between CP and SP
प्रश्न: CP, SP का 80% है। लाभ%?
SP 100, CP 80 → 20/80 = 25%
SP 100, CP 80 → 20/80 = 25%
प्रश्न: SP दोगुना करने पर लाभ तिगुना। लाभ%?
2S − C = 3(S − C) → S = 2C → 100%
2S − C = 3(S − C) → S = 2C → 100%
प्रश्न: SP के 2/3 पर बेचने से 10% हानि। पूरे SP पर?
2/3 SP = 0.9 CP → SP = 1.35 CP → 35% लाभ
2/3 SP = 0.9 CP → SP = 1.35 CP → 35% लाभ
प्रश्न: ₹1,920 पर लाभ = ₹1,280 पर हानि। 25% लाभ के लिए SP?
CP = 1600 → ₹2,000
CP = 1600 → ₹2,000
प्रश्न: 15 वस्तुओं का CP = 12 वस्तुओं का SP। लाभ%?
(15 − 12)/12 × 100 = 25%
(15 − 12)/12 × 100 = 25%
प्रश्न: SP पर 25% लाभ। CP पर लाभ%?
25/75 × 100 = 33 1/3 %
25/75 × 100 = 33 1/3 %
| स्थिति | लाभ/हानि | स्थिति | लाभ/हानि |
|---|---|---|---|
| CP = SP का 80% | 25% लाभ | SP = CP का 80% | 20% हानि |
| CP(x) = SP(y), x > y | (x − y)/y × 100 लाभ | CP(x) = SP(y), x < y | (y − x)/y × 100 हानि |
₹1 के x ख़रीदो, ₹1 के y बेचो → लाभ% = (x − y)/y × 100। जैसे 3 और 2 → (3 − 2)/2 = 50%।
"₹1 के x ख़रीदे, ₹1 के y बेचे" · "x% लाभ के लिए ₹1 में कितनी बेचें" · "CP, SP का x%" · "SP दोगुना, लाभ तिगुना" · "SP के 2/3 पर हानि" · "₹ x अधिक मिलते तो लाभ" · "x पर लाभ = y पर हानि"
मिलावट, दोहरी बेईमानी एवं दो-शर्त प्रश्न Adulteration, Double Cheating & Two Conditions
मिलावट Adulteration — CP पर बेचे
पानी दूध का x% मिलाया → लाभ = x%
पानी मिश्रण का x% है → लाभ = x/(100 − x) × 100 %
लाभ% = पानी ÷ दूध × 100 (पानी मुफ़्त है)
पानी मिश्रण का x% है → लाभ = x/(100 − x) × 100 %
लाभ% = पानी ÷ दूध × 100 (पानी मुफ़्त है)
प्रश्न: ग्वाला दूध में दूध का 10% पानी मिलाकर CP पर बेचता है। लाभ%?
100 L दूध + 10 L पानी, 110 L बिका → 10%
पर यदि पानी मिश्रण का 10% हो: 90 L दूध + 10 L पानी → 10/90 = 11 1/9 %
100 L दूध + 10 L पानी, 110 L बिका → 10%
पर यदि पानी मिश्रण का 10% हो: 90 L दूध + 10 L पानी → 10/90 = 11 1/9 %
प्रश्न: CP पर बेचकर ग्वाले को 25% लाभ होता है। पानी : दूध?
पानी = दूध का 25% → 1 : 4
पानी = दूध का 25% → 1 : 4
प्रश्न: दूध का 20% पानी मिलाया और CP से 10% अधिक पर बेचा। कुल लाभ%?
1.2 × 1.1 = 1.32 → 32%
1.2 × 1.1 = 1.32 → 32%
ख़रीदते और बेचते — दोनों समय बेईमानी Cheating both ways
लाभ गुणक = (ख़रीदते समय मिली मात्रा ÷ जितने के पैसे दिए) × (बेचते समय जितने के पैसे लिए ÷ जितनी मात्रा दी) → लाभ% = (गुणक − 1) × 100
प्रश्न: दुकानदार ख़रीदते समय 10% अधिक तौल लेता है (1000 g के दाम में 1100 g) और बेचते समय 10% की बेईमानी करता है (CP पर)। लाभ%?
(i) "बेचते समय 10% कम तौलता है" = 1000 g के दाम में 900 g → 1.1 × 1000/900 = 1.2222 → 22 2/9 %
(ii) "बेचते समय जितना देता है उसके 10% अधिक के दाम लेता है" = 1000 g देकर 1100 g के दाम → 1.1 × 1.1 = 1.21 → 21%
(i) "बेचते समय 10% कम तौलता है" = 1000 g के दाम में 900 g → 1.1 × 1000/900 = 1.2222 → 22 2/9 %
(ii) "बेचते समय जितना देता है उसके 10% अधिक के दाम लेता है" = 1000 g देकर 1100 g के दाम → 1.1 × 1.1 = 1.21 → 21%
"10% कम देता है" (900 g पर 1000 g का दाम) और "10% अधिक के दाम लेता है" (1000 g पर 1100 g का दाम) अलग हैं — शब्द ध्यान से पढ़ो। बिना दाम बदले केवल ख़रीद में 10% अधिक लेना = 10% लाभ।
दो शर्तों वाला प्रश्न Two conditions
प्रश्न: वस्तु 10% लाभ पर बेची। यदि वह 10% सस्ती ख़रीदता और ₹4 कम में बेचता तो 20% लाभ होता। CP?
1.1C − 4 = 1.2 × 0.9C = 1.08C → 0.02C = 4 → C = ₹200 (जाँच: 180 → 216, 20% ✓)
1.1C − 4 = 1.2 × 0.9C = 1.08C → 0.02C = 4 → C = ₹200 (जाँच: 180 → 216, 20% ✓)
समान SP, असमान %: दो वस्तुएँ ₹1,200 प्रत्येक में बेचीं; एक पर 25% लाभ, दूसरी पर 20% हानि। कुल?
CP = 1200/1.25 = 960 और 1200/0.8 = 1500 → कुल CP 2460, SP 2400 → ₹60 हानि
CP = 1200/1.25 = 960 और 1200/0.8 = 1500 → कुल CP 2460, SP 2400 → ₹60 हानि
"दूध का x% पानी / मिश्रण का x% पानी, लाभ%" · "CP पर बेचकर x% लाभ, पानी : दूध" · "ख़रीदते और बेचते दोनों समय x% बेईमानी" · "x% सस्ता ख़रीदता और ₹ y कम में बेचता तो…, CP?" · "समान SP, अलग-अलग लाभ/हानि %"