Chapter 3 · Series, Analogy & Coding
संख्या श्रृंखला — प्रकार और तरीका
Number Series — Types & Methodश्रृंखला में संख्याएँ किसी नियम से आगे बढ़ती हैं। काम: नियम पहचानकर अगला/लुप्त पद या गलत पद खोजना।
| प्रकार | पहचान | उदाहरण → उत्तर |
|---|---|---|
| समान अंतर | हर बार उतना ही जुड़ता/घटता | 5, 12, 19, 26, ? → 33 (+7) |
| बढ़ता अंतर | अंतर खुद एक श्रृंखला | 3, 7, 13, 21, 31, ? → 43 |
| दूसरे स्तर का अंतर | अंतर 1, 3, 6, 10 (उनका अंतर 2, 3, 4) | 5, 6, 9, 15, 25, ? → 40 |
| गुणा | संख्याएँ तेज़ी से बढ़ें | 2, 6, 18, 54, ? → 162 (×3) |
| भाग / घटता गुणा | संख्याएँ तेज़ी से घटें | 720, 120, 24, 6, 2, ? → 1 (÷6, ÷5, ÷4, ÷3, ÷2) |
| मिश्रित (×a + b) | लगभग दुगुनी/तिगुनी + कुछ | 3, 7, 15, 31, 63, ? → 127 (×2 + 1) |
| बदलता मिश्रित | ×1+1, ×2+2, ×3+3 … | 2, 3, 8, 27, 112, ? → 565 (112 × 5 + 5) |
| वर्ग / वर्ग ± 1 | पद पूर्ण वर्ग के पास | 0, 3, 8, 15, 24, ? → 35 (n² − 1) |
| घन ± n | पद घन के पास | 2, 9, 28, 65, 126, ? → 217 (n³ + 1) · 0, 6, 24, 60, 120, ? → 210 (n³ − n) |
| अभाज्य | 2, 3, 5, 7, 11 … | 2, 3, 5, 7, 11, 13, ? → 17 |
| फिबोनाची | पिछले दो पदों का योग | 1, 1, 2, 3, 5, 8, ? → 13 |
| एकांतर (दो श्रृंखलाएँ) | 1ला, 3रा, 5वाँ अलग; 2रा, 4था अलग | 1, 10, 3, 20, 5, 30, ? → 7 |
जाँच का क्रम: ① अंतर ② अंतर का अंतर ③ अनुपात (गुणा/भाग) ④ वर्ग/घन के पास? ⑤ ×a + b ⑥ एकांतर ⑦ अभाज्य/फिबोनाची। श्रृंखला बहुत तेज़ बढ़े → गुणा/घन; धीरे बढ़े → जोड़।
"श्रृंखला में ? के स्थान पर क्या आएगा?" · "श्रृंखला में गलत पद ज्ञात कीजिए" · "लुप्त पद बीच में" (जैसे 4, ?, 16, 25) · अंत में दो पद खाली (एकांतर श्रृंखला में)।
वर्ग-घन तालिका, गलत पद और सूत्र Squares, Cubes, Wrong Term & Formulas
वर्ग 1 से 30 (ये याद हों तो आधे प्रश्न 10 सेकंड में)
| n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| n² | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 | 36 | 49 | 64 | 81 | 100 | 121 | 144 | 169 | 196 | 225 |
| n | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 |
| n² | 256 | 289 | 324 | 361 | 400 | 441 | 484 | 529 | 576 | 625 | 676 | 729 | 784 | 841 | 900 |
घन 1 से 20
| n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| n³ | 1 | 8 | 27 | 64 | 125 | 216 | 343 | 512 | 729 | 1000 |
| n | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
| n³ | 1331 | 1728 | 2197 | 2744 | 3375 | 4096 | 4913 | 5832 | 6859 | 8000 |
समांतर श्रेणी (समान अंतर d, पहला पद a): n-वाँ पद Tn = a + (n − 1)d | n पदों का योग Sn = n/2 × [2a + (n − 1)d]
गुणोत्तर श्रेणी (समान अनुपात r): n-वाँ पद Tn = a × rn−1
पहली n प्राकृत संख्याओं का योग = n(n + 1)/2 | पहली n विषम संख्याओं का योग = n²
गुणोत्तर श्रेणी (समान अनुपात r): n-वाँ पद Tn = a × rn−1
पहली n प्राकृत संख्याओं का योग = n(n + 1)/2 | पहली n विषम संख्याओं का योग = n²
प्रश्न: 5, 8, 11, 14, … का 20वाँ पद?
a = 5, d = 3 → T₂₀ = 5 + 19 × 3 = 62
a = 5, d = 3 → T₂₀ = 5 + 19 × 3 = 62
प्रश्न: 1 से 50 तक की संख्याओं का योग?
50 × 51 ÷ 2 = 1275
50 × 51 ÷ 2 = 1275
गलत पद: 2, 5, 10, 17, 26, 38, 50
नियम n² + 1 → 2, 5, 10, 17, 26, 37, 50 → गलत पद 38
नियम n² + 1 → 2, 5, 10, 17, 26, 37, 50 → गलत पद 38
गलत पद: 3, 6, 12, 24, 46, 96
हर पद ×2 → 24 × 2 = 48 → गलत पद 46
हर पद ×2 → 24 × 2 = 48 → गलत पद 46
गलत पद ढूँढते समय: शुरू के 3–4 पदों से नियम बनाओ, फिर आगे जाँचो। जहाँ नियम टूटे, उस पद की जगह सही मान रखकर देखो — अगर उसके बाद के सारे पद अब नियम में बैठ जाएँ, तो वही गलत पद है (3, 6, 12, 24, 46, 96 में 46 की जगह 48 रखते ही 96 भी फिट)।
एकांतर श्रृंखला में अंतर उलझे हुए दिखते हैं (+9, −7, +17 …)। ऐसे में एक छोड़कर पद लिखो — दो साफ़ श्रृंखलाएँ दिख जाएँगी।
"? के स्थान पर क्या आएगा: 1, 8, 27, 64, ?" · "गलत पद ज्ञात कीजिए" · "श्रेणी 7, 11, 15, … का 25वाँ पद" · "1 से 100 तक का योग" · "पहली 10 विषम संख्याओं का योग" (= 100)।
और प्रकार, लुप्त पद और योग सूत्र More Patterns, Missing Terms & Sum Formulas
| प्रकार | उदाहरण | उत्तर व नियम |
|---|---|---|
| n(n + 1) / n² + n | 2, 6, 12, 20, 30, ? | 42 (6 × 7) |
| अंतर = वर्ग | 1, 2, 6, 15, 31, ? | 56 (+1², +2², +3², +4², +5²) |
| अंतर = अभाज्य | 2, 5, 10, 17, 28, ? | 41 (+3, +5, +7, +11, +13) |
| ×a − b | 3, 5, 9, 17, 33, ? | 65 (×2 − 1) |
| बारी-बारी दो संक्रियाएँ | 3, 6, 7, 14, 15, 30, ? | 31 (×2, +1, ×2, +1 …) |
| घटती श्रृंखला | 100, 91, 82, 73, ? | 64 (−9) |
| भिन्न वाली | 1/2, 2/3, 3/4, 4/5, ? | 5/6 (अंश और हर दोनों +1) |
लुप्त पद बीच में (Missing middle term)
4, ?, 16, 25, 36
2², 3², 4², 5², 6² → 9
2², 3², 4², 5², 6² → 9
5, 10, ?, 40, 80
×2 → 20
×2 → 20
7, 12, ?, 22, 27
+5 → 17
+5 → 17
समांतर श्रेणी में पदों की संख्या n = (अंतिम पद − पहला पद) ÷ d + 1
पहली n सम संख्याओं का योग = n(n + 1) | पहली n संख्याओं के वर्गों का योग = n(n + 1)(2n + 1)/6
पहली n संख्याओं के घनों का योग = [n(n + 1)/2]² | गुणोत्तर श्रेणी का योग Sn = a(rⁿ − 1)/(r − 1), r > 1
पहली n सम संख्याओं का योग = n(n + 1) | पहली n संख्याओं के वर्गों का योग = n(n + 1)(2n + 1)/6
पहली n संख्याओं के घनों का योग = [n(n + 1)/2]² | गुणोत्तर श्रेणी का योग Sn = a(rⁿ − 1)/(r − 1), r > 1
प्रश्न: 3, 6, 9, …, 99 में कितने पद? और उनका योग?
n = (99 − 3) ÷ 3 + 1 = 33 पद
योग = 33/2 × (3 + 99) = 1683
n = (99 − 3) ÷ 3 + 1 = 33 पद
योग = 33/2 × (3 + 99) = 1683
प्रश्न: पहली 20 सम संख्याओं का योग?
20 × 21 = 420
प्रश्न: 1² + 2² + … + 10² = 10 × 11 × 21 ÷ 6 = 385
20 × 21 = 420
प्रश्न: 1² + 2² + … + 10² = 10 × 11 × 21 ÷ 6 = 385
प्रश्न: 1³ + 2³ + 3³ + 4³ + 5³ = ?
[5 × 6 ÷ 2]² = 15² = 225
[5 × 6 ÷ 2]² = 15² = 225
प्रश्न: 2 + 4 + 8 + … (6 पद) = ?
a = 2, r = 2 → 2(2⁶ − 1) ÷ 1 = 126
a = 2, r = 2 → 2(2⁶ − 1) ÷ 1 = 126
समांतर श्रेणी का योग = पदों की संख्या × (पहला + अंतिम) ÷ 2 — यह सबसे तेज़ तरीका है।
"? के स्थान पर: 2, 6, 12, 20, ?" · "3, 6, 7, 14, 15, ?" · "4, ?, 16, 25" · "10 से 100 के बीच 7 से भाज्य कितनी संख्याएँ?" (14 से 98 → 13) · "1 से 10 तक वर्गों का योग"