Chapter 6 · Arithmetic
प्रतिशत की मूल बातें
Percentage Basicsप्रतिशत = प्रति सौ: x% = x/100 | x का y% = x × y ÷ 100 | x, y का कितना % = (x ÷ y) × 100
संख्या का x% = A हो तो संख्या = A × 100 ÷ x | x का y% = y का x% (16 का 25% = 25 का 16% = 4)
संख्या का x% = A हो तो संख्या = A × 100 ÷ x | x का y% = y का x% (16 का 25% = 25 का 16% = 4)
| भिन्न | % | भिन्न | % | भिन्न | % | भिन्न | % |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1/2 | 50 | 1/6 | 16 2/3 | 1/10 | 10 | 1/16 | 6 1/4 |
| 1/3 | 33 1/3 | 1/7 | 14 2/7 | 1/11 | 9 1/11 | 1/20 | 5 |
| 1/4 | 25 | 1/8 | 12 1/2 | 1/12 | 8 1/3 | 1/25 | 4 |
| 1/5 | 20 | 1/9 | 11 1/9 | 1/15 | 6 2/3 | 3/8 | 37 1/2 |
| 2/3 | 66 2/3 | 3/4 | 75 | 5/6 | 83 1/3 | 7/8 | 87 1/2 |
प्रश्न: 480 का 15%?
480 × 15/100 = 72
480 × 15/100 = 72
प्रश्न: किसी संख्या का 30% = 72। संख्या?
72 × 100/30 = 240
72 × 100/30 = 240
प्रश्न: 400 के 50% का 20%?
400 × 1/2 × 1/5 = 40
400 × 1/2 × 1/5 = 40
प्रश्न: 250 g, 2 kg का कितना %?
250/2000 × 100 = 12.5% (पहले मात्रक समान!)
250/2000 × 100 = 12.5% (पहले मात्रक समान!)
प्रश्न: 45 मिनट, 3 घंटे का कितना %?
45/180 × 100 = 25%
45/180 × 100 = 25%
प्रश्न: A का 40% = B का 60%। A : B?
0.4A = 0.6B → A : B = 3 : 2
0.4A = 0.6B → A : B = 3 : 2
अधिक / कम कितने प्रतिशत More than / less than
A, B से r% अधिक → B, A से r/(100 + r) × 100 % कम
A, B से r% कम → B, A से r/(100 − r) × 100 % अधिक
प्रतिशत हमेशा "जिससे तुलना" (आधार) पर निकलता है।
A, B से r% कम → B, A से r/(100 − r) × 100 % अधिक
प्रतिशत हमेशा "जिससे तुलना" (आधार) पर निकलता है।
प्रश्न: A का वेतन B से 25% अधिक। B का A से कितना % कम?
25/125 × 100 = 20%
प्रश्न: A, B से 20% कम। B, A से कितना % अधिक?
20/80 × 100 = 25%
25/125 × 100 = 20%
प्रश्न: A, B से 20% कम। B, A से कितना % अधिक?
20/80 × 100 = 25%
0.5% = 1/200 = 0.005 · 150% = 1.5 गुना · "x% अधिक" = (100 + x)% · "x% कम" = (100 − x)%
"x का y% ज्ञात करो" · "x% = A, संख्या?" · "भिन्न/दशमलव को % में बदलो (3/8, 0.125)" · "अलग मात्रक वाली राशि का %" · "A, B से x% अधिक तो B, A से कितना कम?" · "A का x% = B का y% तो A : B"
प्रतिशत वृद्धि, कमी एवं क्रमागत परिवर्तन Increase, Decrease & Successive Change
वृद्धि % = (वृद्धि ÷ पुराना मान) × 100
कमी % = (कमी ÷ पुराना मान) × 100
r% बढ़ने पर नया = पुराना × (100 + r)/100
r% घटने पर नया = पुराना × (100 − r)/100
कमी % = (कमी ÷ पुराना मान) × 100
r% बढ़ने पर नया = पुराना × (100 + r)/100
r% घटने पर नया = पुराना × (100 − r)/100
₹800 → ₹1,000: 200/800 = 25% वृद्धि
₹1,000 → ₹800: 200/1000 = 20% कमी
10% बढ़कर 660 → मूल = 660 × 100/110 = 600
₹1,000 → ₹800: 200/1000 = 20% कमी
10% बढ़कर 660 → मूल = 660 × 100/110 = 600
क्रमागत प्रतिशत परिवर्तन Successive change
पहले a%, फिर b% → कुल = a + b + ab/100 % (कमी को ऋण लो)
+x फिर −x (या उलटा) → हमेशा x²/100 % कमी
तीन बार: पहले दो का परिणाम निकालो, फिर तीसरे के साथ।
+x फिर −x (या उलटा) → हमेशा x²/100 % कमी
तीन बार: पहले दो का परिणाम निकालो, फिर तीसरे के साथ।
+20%, +10% → 20 + 10 + 2 = 32% वृद्धि
+20%, −10% → 20 − 10 − 2 = 8% वृद्धि
+10%, −10% → 1% कमी (100 → 110 → 99)
+10, +20, +30% → 32%, फिर 32 + 30 + 9.6 = 71.6%
+20%, −10% → 20 − 10 − 2 = 8% वृद्धि
+10%, −10% → 1% कमी (100 → 110 → 99)
+10, +20, +30% → 32%, फिर 32 + 30 + 9.6 = 71.6%
क्षेत्रफल: आयत की लंबाई 20% बढ़ी, चौड़ाई 10% घटी। क्षेत्रफल?
20 − 10 − 2 = 8% वृद्धि
वर्ग की भुजा 10% बढ़ी → 10 + 10 + 1 = 21% वृद्धि
20 − 10 − 2 = 8% वृद्धि
वर्ग की भुजा 10% बढ़ी → 10 + 10 + 1 = 21% वृद्धि
खर्च: भाव 25% बढ़ा, खपत 20% घटाई। खर्च पर असर?
25 − 20 − 5 = 0% (खर्च वही रहा)
खर्च = भाव × खपत, इसलिए यही सूत्र।
25 − 20 − 5 = 0% (खर्च वही रहा)
खर्च = भाव × खपत, इसलिए यही सूत्र।
उलटे और मिश्रित प्रश्न Reverse & mixed
प्रश्न: संख्या 25% बढ़ाई। मूल पाने के लिए कितने % घटाएँ?
25/125 × 100 = 20%
25/125 × 100 = 20%
प्रश्न: मूल्य 20% बढ़ा, फिर 20% घटा, अब ₹480। मूल?
480 ÷ (1.2 × 0.8) = 480 ÷ 0.96 = ₹500
480 ÷ (1.2 × 0.8) = 480 ÷ 0.96 = ₹500
प्रश्न: दो संख्याएँ तीसरी से 20% और 50% अधिक। उनका अनुपात?
120 : 150 = 4 : 5
120 : 150 = 4 : 5
प्रश्न: किसी संख्या के 35% में 39 जोड़ने पर वही संख्या मिलती है। संख्या?
65% = 39 → 60
65% = 39 → 60
प्रश्न: A की आय B से 20% अधिक, B की C से 25% कम। A, C का कितना %?
1.2 × 0.75 = 0.9 → 90%
1.2 × 0.75 = 0.9 → 90%
प्रश्न: घन की भुजा 10% बढ़ी। आयतन?
21%, फिर 21 + 10 + 2.1 = 33.1% वृद्धि (1.1³ = 1.331)
21%, फिर 21 + 10 + 2.1 = 33.1% वृद्धि (1.1³ = 1.331)
गुणक से तेज़ हल: 10% वृद्धि = × 1.1 = × 11/10; 20% कमी = × 0.8 = × 4/5; 25% वृद्धि = × 5/4।
"x से y कितने % बढ़ा/घटा?" · "क्रमागत दो/तीन प्रतिशत परिवर्तन का कुल प्रभाव" · "पहले x% बढ़ा फिर x% घटा" · "आयत/वर्ग का क्षेत्रफल कितना बदला" · "भाव और खपत दोनों बदले तो खर्च"
जनसंख्या, मूल्य ह्रास एवं खपत Population, Depreciation & Consumption
n वर्ष बाद = P(1 + r/100)ⁿ
n वर्ष बाद (ह्रास) = P(1 − r/100)ⁿ
n वर्ष पहले = P ÷ (1 + r/100)ⁿ
हर वर्ष अलग दर: P(1 + r₁/100)(1 + r₂/100)…
n वर्ष बाद (ह्रास) = P(1 − r/100)ⁿ
n वर्ष पहले = P ÷ (1 + r/100)ⁿ
हर वर्ष अलग दर: P(1 + r₁/100)(1 + r₂/100)…
जनसंख्या 10,000, 10% वार्षिक वृद्धि, 2 वर्ष बाद → 10000 × 1.1 × 1.1 = 12,100
मशीन ₹50,000, 20% वार्षिक ह्रास, 2 वर्ष बाद → 50000 × 0.8 × 0.8 = ₹32,000
मशीन ₹50,000, 20% वार्षिक ह्रास, 2 वर्ष बाद → 50000 × 0.8 × 0.8 = ₹32,000
प्रश्न: अभी जनसंख्या 13,310 है, हर वर्ष 10% बढ़ी। 3 वर्ष पहले?
13310 ÷ 1.331 = 10,000
13310 ÷ 1.331 = 10,000
प्रश्न: 8,000 की जनसंख्या पहले वर्ष 10% बढ़ी, दूसरे वर्ष 10% घटी।
8000 × 1.1 × 0.9 = 7,920
8000 × 1.1 × 0.9 = 7,920
प्रश्न: 2 वर्ष तक 10% वार्षिक ह्रास के बाद मशीन का मूल्य ₹40,500 है। मूल मूल्य?
40500 ÷ (0.9 × 0.9) = 40500 ÷ 0.81 = ₹50,000
40500 ÷ (0.9 × 0.9) = 40500 ÷ 0.81 = ₹50,000
प्रश्न: एक शहर में हर वर्ष जन्म दर 5% और मृत्यु दर 2%। 20,000 की जनसंख्या 2 वर्ष बाद?
शुद्ध वृद्धि 3% → 20000 × 1.03² = 21,218
शुद्ध वृद्धि 3% → 20000 × 1.03² = 21,218
मूल्य बदलने पर खपत Price and consumption
खर्च वही रखना हो: मूल्य r% बढ़े → खपत r/(100 + r) × 100 % घटाओ | मूल्य r% घटे → खपत r/(100 − r) × 100 % बढ़ा सकते हो
प्रश्न: चीनी का भाव 25% बढ़ा। खर्च न बढ़े तो खपत कितनी घटाएँ? → 25/125 = 20%
प्रश्न: भाव 20% घटा। उतने ही पैसे में खपत कितनी बढ़ेगी? → 20/80 = 25%
प्रश्न: चीनी का भाव 20% घटने से ₹240 में 3 kg चीनी अधिक मिलती है। नया और पुराना भाव?
बचत = 240 का 20% = ₹48 → इतने में 3 kg → नया भाव = 48 ÷ 3 = ₹16/kg → पुराना = 16 ÷ 0.8 = ₹20/kg (जाँच: 12 kg → 15 kg)
बचत = 240 का 20% = ₹48 → इतने में 3 kg → नया भाव = 48 ÷ 3 = ₹16/kg → पुराना = 16 ÷ 0.8 = ₹20/kg (जाँच: 12 kg → 15 kg)
प्रश्न: पेट्रोल का भाव 25% बढ़ा और एक व्यक्ति ने अपना खर्च केवल 15% बढ़ाया। खपत में कितने % बदलाव?
नई खपत = 1.15 ÷ 1.25 = 0.92 → 8% कमी
नई खपत = 1.15 ÷ 1.25 = 0.92 → 8% कमी
खर्च = भाव × खपत। दोनों बदलें → a + b + ab/100; खर्च स्थिर → r/(100 ± r)।
"n वर्ष बाद/पहले जनसंख्या" · "मशीन का मूल्य ह्रास, मूल मूल्य" · "जन्म-मृत्यु दर से शुद्ध वृद्धि" · "भाव बढ़ा, खपत कितनी घटाएँ" · "भाव घटने से x kg अधिक, भाव?" · "खर्च और भाव बढ़े, खपत?"
परीक्षा, चुनाव एवं आय के प्रश्न Exam, Election & Income
परीक्षा के प्रश्न Exam marks
प्रश्न: पास होने के लिए 33% अंक चाहिए। छात्र को 125 अंक मिले और वह 40 अंकों से फेल हुआ। पूर्णांक?
पास अंक = 165 = 33% → 500
पास अंक = 165 = 33% → 500
प्रश्न: A को 30% अंक मिले, 20 से फेल; B को 40% मिले, पास अंक से 10 अधिक। पूर्णांक?
10% = 20 + 10 = 30 → पूर्णांक 300, पास अंक 110
10% = 20 + 10 = 30 → पूर्णांक 300, पास अंक 110
प्रश्न: 30% छात्र हिंदी में, 25% अंग्रेज़ी में और 10% दोनों में फेल। दोनों में पास कितने %? पास छात्र 550 हों तो कुल?
कम से कम एक में फेल = 30 + 25 − 10 = 45% → दोनों में पास = 55% → कुल = 550 × 100/55 = 1,000
कम से कम एक में फेल = 30 + 25 − 10 = 45% → दोनों में पास = 55% → कुल = 550 × 100/55 = 1,000
चुनाव के प्रश्न Election
प्रश्न: दो उम्मीदवार; विजेता को 60% मत मिले और वह 400 मतों से जीता। कुल मत?
60% − 40% = 20% = 400 → 2,000
60% − 40% = 20% = 400 → 2,000
प्रश्न: 20% मतदाताओं ने मत नहीं डाला। डाले गए मतों का 60% पाकर विजेता 1,600 से जीता। कुल मतदाता?
अंतर = डाले गए मतों का 20% = 0.8V का 20% = 0.16V = 1600 → 10,000
अंतर = डाले गए मतों का 20% = 0.8V का 20% = 0.16V = 1600 → 10,000
प्रश्न: दो उम्मीदवारों में एक को 35% मत मिले और वह 360 मतों से हारा। कुल मत?
65% − 35% = 30% = 360 → 1,200
65% − 35% = 30% = 360 → 1,200
प्रश्न: 5,000 मतों में 10% अवैध। विजेता को वैध मतों का 55% मिला। अंतर?
वैध 4,500 → 2,475 − 2,025 = 450
वैध 4,500 → 2,475 − 2,025 = 450
आय, व्यय और बचत Income & savings
प्रश्न: आय का 75% खर्च, बचत ₹5,000। आय?
25% = 5000 → ₹20,000
25% = 5000 → ₹20,000
प्रश्न: आय का 20% किराया, बचे का 25% भोजन, शेष ₹9,000। आय?
0.8 × 0.75 = 0.6 → ₹15,000
0.8 × 0.75 = 0.6 → ₹15,000
प्रश्न: आय ₹20,000, खर्च 80%। आय 20% और खर्च 10% बढ़े। बचत?
24,000 − 17,600 = ₹6,400
24,000 − 17,600 = ₹6,400
मिश्रण: 60 L दूध-पानी के मिश्रण में 20% पानी है। कितना पानी मिलाएँ कि पानी 25% हो जाए?
दूध 48 L (नहीं बदलता) = 75% → नया मिश्रण 64 L → 4 L पानी
दूध 48 L (नहीं बदलता) = 75% → नया मिश्रण 64 L → 4 L पानी
"33% पर पास, x अंकों से फेल, पूर्णांक?" · "दो छात्रों के % और अंतर से पूर्णांक" · "दोनों विषयों में फेल/पास" · "चुनाव में जीत का अंतर, अवैध मत" · "आय-व्यय-बचत" · "मिश्रण में पानी का %"
प्रतिशत के विशेष प्रश्न Weighted Percentage & Percentage Error
भारित (समूह) प्रतिशत Weighted percentage
कुल % = (भाग₁ का हिस्सा × उसका %) + (भाग₂ का हिस्सा × उसका %)
दो समूहों की वृद्धि % दी, कुल वृद्धि % दी → समूहों का अनुपात = (ऊँचा % − कुल %) : (कुल % − नीचा %) (पहले वाला = नीचे % वाला समूह)
दो समूहों की वृद्धि % दी, कुल वृद्धि % दी → समूहों का अनुपात = (ऊँचा % − कुल %) : (कुल % − नीचा %) (पहले वाला = नीचे % वाला समूह)
प्रश्न: कक्षा में 60% लड़के हैं। 50% लड़के और 75% लड़कियाँ पास हुईं। कुल कितने % पास?
60 का 50% + 40 का 75% = 30 + 30 = 60%
60 का 50% + 40 का 75% = 30 + 30 = 60%
प्रश्न: एक गाँव में पुरुषों की संख्या 10% और स्त्रियों की 15% बढ़ी; कुल जनसंख्या 12% बढ़ी। पुरुष : स्त्री (पहले)?
पुरुष : स्त्री = (15 − 12) : (12 − 10) = 3 : 2 (जाँच: 300 + 200 = 500 → 330 + 230 = 560 → 12% ✓)
पुरुष : स्त्री = (15 − 12) : (12 − 10) = 3 : 2 (जाँच: 300 + 200 = 500 → 330 + 230 = 560 → 12% ✓)
प्रतिशत त्रुटि Percentage error
त्रुटि % = |सही मान − गलत मान| ÷ सही मान × 100
वर्ग की भुजा x% अधिक मापी → क्षेत्रफल (2x + x²/100)% अधिक; x% कम → (2x − x²/100)% कम (2% कम → 3.96% कम)
वर्ग की भुजा x% अधिक मापी → क्षेत्रफल (2x + x²/100)% अधिक; x% कम → (2x − x²/100)% कम (2% कम → 3.96% कम)
प्रश्न: छात्र ने किसी संख्या को 5/3 की जगह 3/5 से गुणा किया। त्रुटि %?
सही 5/3, गलत 3/5 → (5/3 − 3/5) ÷ 5/3 = 1 − 9/25 = 16/25 → 64%
सही 5/3, गलत 3/5 → (5/3 − 3/5) ÷ 5/3 = 1 − 9/25 = 16/25 → 64%
प्रश्न: संख्या को 4 से गुणा करने की जगह 4 से भाग दिया। त्रुटि %?
सही 4x, गलत x/4 → (4x − x/4)/4x = 15/16 → 93.75%
सही 4x, गलत x/4 → (4x − x/4)/4x = 15/16 → 93.75%
प्रश्न: वर्ग की भुजा मापने में 2% अधिक लिखा। क्षेत्रफल में त्रुटि?
2 + 2 + 0.04 = 4.04%
2 + 2 + 0.04 = 4.04%
% से अनुपात Ratio from percentages
प्रश्न: A का 20% = B का 30% = C का 1/6। A : B : C?
सबको k मानो: A = 5k, B = 10k/3, C = 6k → ×3 → 15 : 10 : 18
सबको k मानो: A = 5k, B = 10k/3, C = 6k → ×3 → 15 : 10 : 18
प्रश्न: तीन प्रश्नपत्र (प्रत्येक 100 अंक) में 60 और 70 मिले। औसत 75% के लिए तीसरे में?
225 − 130 = 95 अंक
225 − 130 = 95 अंक
भारित % में दोनों प्रतिशतों का साधारण औसत (50 + 75)/2 = 62.5% गलत है; समूहों के हिस्से से भार दो। त्रुटि % हमेशा सही मान पर निकालो।
"x% लड़के, उनमें y% पास, कुल पास %" · "पुरुष-स्त्री की वृद्धि % से अनुपात" · "गलत संक्रिया (3/5 की जगह 5/3) से त्रुटि %" · "मापन में त्रुटि, क्षेत्रफल पर असर" · "A का x% = B का y%, अनुपात" · "औसत % के लिए अगले पेपर में अंक"