Chapter 2 · Numbers
गणितीय संक्रियाएँ एवं सरलीकरण
Operations & BODMAS| गुण | जोड़ | गुणा |
|---|---|---|
| संवरक (Closure) | a + b भी उसी समूह में | a × b भी उसी समूह में |
| क्रमविनिमेय | a + b = b + a | a × b = b × a |
| साहचर्य | (a+b)+c = a+(b+c) | (ab)c = a(bc) |
| तत्समक | a + 0 = a | a × 1 = a |
| प्रतिलोम | a + (−a) = 0 | a × 1/a = 1 |
| वितरण | a × (b + c) = a×b + a×c | |
| संवरक? | + | − | × | ÷ |
|---|---|---|---|---|
| प्राकृत N | ✓ | ✗ | ✓ | ✗ |
| पूर्ण W | ✓ | ✗ | ✓ | ✗ |
| पूर्णांक Z | ✓ | ✓ | ✓ | ✗ |
BODMAS (क्रम): B कोष्ठक → O "का/की" (of) → D भाग → M गुणा → A जोड़ → S घटाना
कोष्ठक का क्रम: रेखा कोष्ठक (ऊपर की रेखा) → ( ) → { } → [ ]
भाग-गुणा आपस में बाएँ से दाएँ, जोड़-घटाना भी बाएँ से दाएँ।
कोष्ठक का क्रम: रेखा कोष्ठक (ऊपर की रेखा) → ( ) → { } → [ ]
भाग-गुणा आपस में बाएँ से दाएँ, जोड़-घटाना भी बाएँ से दाएँ।
भाग एल्गोरिथ्म: भाज्य = भाजक × भागफल + शेषफल (शेषफल < भाजक)
a × 0 = 0 · 0 ÷ a = 0 · a ÷ 1 = a · a ÷ a = 1 · a ÷ 0 अपरिभाषित। घटाना और भाग क्रमविनिमेय नहीं (7 − 3 ≠ 3 − 7)। 0 का गुणात्मक प्रतिलोम नहीं होता।
प्रश्न: 18 ÷ 3 × 2 + 4 − 1
6 × 2 + 4 − 1 = 15
6 × 2 + 4 − 1 = 15
प्रश्न: ½ का 8 ÷ 2
पहले "का": 4 ÷ 2 = 2
पहले "का": 4 ÷ 2 = 2
प्रश्न: 3/4 का 2/3 का 120
120 × 2/3 × 3/4 = 60
120 × 2/3 × 3/4 = 60
प्रश्न: −8 + 12 ÷ 4 × (−2)
−8 + 3 × (−2) = −8 − 6 = −14
−8 + 3 × (−2) = −8 − 6 = −14
प्रश्न: 24 − [12 − {8 − (6 − 2)}]
4 → 4 → 8 → 24 − 8 = 16
4 → 4 → 8 → 24 − 8 = 16
प्रश्न: 20 − 4 × (8 − 6 − 2)
रेखा पहले: 6 − 2 = 4 → 8 − 4 = 4 → 20 − 16 = 4
रेखा पहले: 6 − 2 = 4 → 8 − 4 = 4 → 20 − 16 = 4
प्रश्न: भाजक 17, भागफल 9, शेषफल 5। भाज्य? → 17 × 9 + 5 = 158 | प्रश्न: 7 से भाग देने पर शेष 4 बचता है; उसी संख्या के 3 गुने को 7 से भाग दें तो शेष? → 4 × 3 = 12 → 12 ÷ 7 शेष 5
पहली n प्राकृत संख्याओं का योग = n(n + 1) ÷ 2 | पहली n विषम का योग = n² | पहली n सम का योग = n(n + 1)
वर्गों का योग = n(n+1)(2n+1) ÷ 6 | घनों का योग = [n(n+1) ÷ 2]²
वर्गों का योग = n(n+1)(2n+1) ÷ 6 | घनों का योग = [n(n+1) ÷ 2]²
1 से 20 का योग = 20 × 21 ÷ 2 = 210 · पहली 15 विषम का योग = 15² = 225 · 2 + 4 + … + 40 = 20 × 21 = 420 · 1² + … + 10² = 10 × 11 × 21 ÷ 6 = 385 · 1³ + … + 5³ = 15² = 225
"BODMAS से सरल करो" · "भाज्य/भाजक/शेषफल ज्ञात करो" · "a × (b + c) = ab + ac कौन-सा गुण है?" · "जोड़ का तत्समक अवयव?" · "पूर्ण संख्याएँ किस संक्रिया के लिए संवृत नहीं?" · "1 से 50 तक का योग?"
वर्ग, वर्गमूल, घन, घनमूल Squares, Roots & Cubes
| n | n² | n | n² | n | n² | n | n³ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 11 | 121 | 21 | 441 | 1 / 2 | 1 / 8 |
| 2 | 4 | 12 | 144 | 22 | 484 | 3 | 27 |
| 3 | 9 | 13 | 169 | 23 | 529 | 4 | 64 |
| 4 | 16 | 14 | 196 | 24 | 576 | 5 | 125 |
| 5 | 25 | 15 | 225 | 25 | 625 | 6 | 216 |
| 6 | 36 | 16 | 256 | 26 | 676 | 7 | 343 |
| 7 | 49 | 17 | 289 | 27 | 729 | 8 | 512 |
| 8 | 64 | 18 | 324 | 28 | 784 | 9 | 729 |
| 9 | 81 | 19 | 361 | 29 | 841 | 10 | 1000 |
| 10 | 100 | 20 | 400 | 30 | 900 | 11 / 12 | 1331 / 1728 |
| √2 ≈ 1.414 · √3 ≈ 1.732 · √5 ≈ 2.236 · √10 ≈ 3.162 | 13 / 14 / 15 | 2197 / 2744 / 3375 | |||||
गुणनखंड विधि: √1764
1764 = 2² × 3² × 7² → 2 × 3 × 7 = 42
∛2744 = ∛(2³ × 7³) = 14
1764 = 2² × 3² × 7² → 2 × 3 × 7 = 42
∛2744 = ∛(2³ × 7³) = 14
भाग विधि: √5329
जोड़े: 53 | 29 → 7² = 49, शेष 4
429 उतारो, भाजक 14_ → 143 × 3 = 429 ✓
√5329 = 73
जोड़े: 53 | 29 → 7² = 49, शेष 4
429 उतारो, भाजक 14_ → 143 × 3 = 429 ✓
√5329 = 73
प्रश्न: 2352 को किस सबसे छोटी संख्या से गुणा करें कि पूर्ण वर्ग बने?
2352 = 2⁴ × 3 × 7² → 3 की घात विषम → × 3 = 7056 = 84²
(भाग देना हो तो ÷ 3 = 784 = 28²)
2352 = 2⁴ × 3 × 7² → 3 की घात विषम → × 3 = 7056 = 84²
(भाग देना हो तो ÷ 3 = 784 = 28²)
प्रश्न: 1350 को किस सबसे छोटी संख्या से गुणा करें कि पूर्ण घन बने?
1350 = 2 × 3³ × 5² → 2² × 5 = 20 से गुणा → 27000 = 30³
1350 = 2 × 3³ × 5² → 2² × 5 = 20 से गुणा → 27000 = 30³
पूर्ण वर्ग: अभाज्य गुणनखंडन में हर घात सम · पूर्ण घन: हर घात 3 का गुणज
दशमलव: √0.09 = 0.3 · √0.0049 = 0.07 (दशमलव स्थान आधे) · √(a/b) = √a ÷ √b · √(a × b) = √a × √b
दशमलव: √0.09 = 0.3 · √0.0049 = 0.07 (दशमलव स्थान आधे) · √(a/b) = √a ÷ √b · √(a × b) = √a × √b
पूर्ण वर्ग का इकाई अंक केवल 0, 1, 4, 5, 6, 9 — 2, 3, 7, 8 कभी नहीं। अंत में शून्य सम संख्या में ही (100 ✓, 1000 ✗)। पूर्ण वर्ग का अंक-योग (एक अंक तक) केवल 1, 4, 7, 9।
5 पर ख़त्म संख्या का वर्ग: दहाई × (दहाई + 1), फिर 25 लिखो: 35² = 3 × 4 | 25 = 1225; 85² = 72 | 25 = 7225।
घन का इकाई अंक: 2 ↔ 8, 3 ↔ 7 अदला-बदली, बाकी वही।
घन का इकाई अंक: 2 ↔ 8, 3 ↔ 7 अदला-बदली, बाकी वही।
"√ या ∛ ज्ञात करो" · "कौन-सी संख्या पूर्ण वर्ग नहीं है?" · "किस छोटी संख्या से गुणा/भाग करें कि पूर्ण वर्ग/घन बने?" · "√0.0016 = ?" · "√2 का सन्निकट मान" · "किस पूर्ण वर्ग का इकाई अंक … नहीं हो सकता?"
घातांक एवं इकाई अंक Powers & Unit Digit
घातांक के नियम (a ≠ 0): aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ | aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ | (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ | (ab)ⁿ = aⁿbⁿ | (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ
a⁰ = 1 | a⁻ⁿ = 1/aⁿ | a^(1/2) = √a | a^(1/3) = ∛a | a^(m/n) = (ⁿ√a)ᵐ
a⁰ = 1 | a⁻ⁿ = 1/aⁿ | a^(1/2) = √a | a^(1/3) = ∛a | a^(m/n) = (ⁿ√a)ᵐ
प्रश्न: 2⁵ × 2³ ÷ 2⁶ = ?
2⁵⁺³⁻⁶ = 2² = 4
2⁵⁺³⁻⁶ = 2² = 4
प्रश्न: 8^(2/3) = ?
(∛8)² = 2² = 4
(∛8)² = 2² = 4
प्रश्न: (2/3)⁻² = ?
(3/2)² = 9/4
(3/2)² = 9/4
| आधार का इकाई अंक | घात 1 | घात 2 | घात 3 | घात 4 | चक्र |
|---|---|---|---|---|---|
| 2 | 2 | 4 | 8 | 6 | 4 |
| 3 | 3 | 9 | 7 | 1 | 4 |
| 7 | 7 | 9 | 3 | 1 | 4 |
| 8 | 8 | 4 | 2 | 6 | 4 |
| 4 | 4 | 6 | 4 | 6 | 2 (विषम घात 4, सम 6) |
| 9 | 9 | 1 | 9 | 1 | 2 (विषम घात 9, सम 1) |
| 0, 1, 5, 6 | हमेशा वही अंक | 1 | |||
विधि: घात ÷ 4 का शेषफल देखो → शेष 1, 2, 3 हो तो चक्र का वही स्थान; शेष 0 हो तो चक्र का चौथा (अंतिम) अंक।
प्रश्न: 7⁴² का इकाई अंक?
42 ÷ 4 शेष 2 → 9
42 ÷ 4 शेष 2 → 9
प्रश्न: 7⁴⁰ का इकाई अंक?
40 ÷ 4 शेष 0 → चौथा → 1
40 ÷ 4 शेष 0 → चौथा → 1
प्रश्न: 3⁶⁵ का इकाई अंक?
65 ÷ 4 शेष 1 → 3
65 ÷ 4 शेष 1 → 3
गुणनफल का इकाई अंक: केवल इकाई अंकों का गुणा करो — 37 × 43 × 29 → 7 × 3 = 21 → 1 × 9 = 9 | 2⁴ × 5³ में इकाई अंक = 6 × 5 → 0
घात ÷ 4 में शेष 0 पर उत्तर "पहला अंक" नहीं, चौथा होता है — 2⁸ का इकाई अंक 6 (256), 2 नहीं। (−1)^सम = 1, (−1)^विषम = −1।
"aᵐ × aⁿ ÷ aᵖ सरल करो" · "a⁰ = ?" · "8^(2/3) या 27^(−1/3) = ?" · "किसी घात का इकाई अंक" · "गुणनफल का इकाई अंक"