Chapter 4 · Numbers
भिन्न
Fractionsभिन्न = पूरे के बराबर भागों में से कुछ भाग · 3/4 → अंश 3 (लिए गए भाग) / हर 4 (कुल बराबर भाग) · तुल्य भिन्न: अंश-हर को एक ही संख्या से ×/÷ → 1/2 = 2/4 = 3/6 = 5/10 · सरलतम रूप: अंश-हर का HCF = 1 (18/24 → ÷6 → 3/4)
| प्रकार | पहचान | उदाहरण |
|---|---|---|
| उचित (Proper) | अंश < हर (मान 1 से कम) | 3/5, 7/9 |
| अनुचित (Improper) | अंश ≥ हर (मान 1 या अधिक) | 7/4, 9/9 |
| मिश्रित (Mixed) | पूर्ण संख्या + उचित भिन्न | 2 1/3 = 7/3 |
| इकाई भिन्न · सजातीय / विजातीय | अंश = 1 · हर समान / हर अलग | 1/7 · 2/7, 5/7 / 1/3, 1/4 |
मिश्रित → अनुचित: (पूर्ण × हर + अंश) ÷ हर 3 2/5 = 17/5
अनुचित → मिश्रित: अंश ÷ हर → भागफल पूर्ण, शेष अंश 23/6 = 3 5/6
a/b का व्युत्क्रम = b/a · a/b = c/d तभी जब ad = bc
अनुचित → मिश्रित: अंश ÷ हर → भागफल पूर्ण, शेष अंश 23/6 = 3 5/6
a/b का व्युत्क्रम = b/a · a/b = c/d तभी जब ad = bc
जोड़/घटाना: हर का LCM लेकर समान हर बनाओ।
गुणा: अंश × अंश, हर × हर।
भाग: दूसरी भिन्न का व्युत्क्रम लेकर गुणा। 0 का व्युत्क्रम नहीं।
गुणा: अंश × अंश, हर × हर।
भाग: दूसरी भिन्न का व्युत्क्रम लेकर गुणा। 0 का व्युत्क्रम नहीं।
प्रश्न: 2 1/3 + 1 1/2
7/3 + 3/2 = 14/6 + 9/6 = 23/6 = 3 5/6
7/3 + 3/2 = 14/6 + 9/6 = 23/6 = 3 5/6
प्रश्न: 3 1/4 − 1 2/3
13/4 − 5/3 = 39/12 − 20/12 = 19/12 = 1 7/12
13/4 − 5/3 = 39/12 − 20/12 = 19/12 = 1 7/12
प्रश्न: 2 1/2 × 1 1/5 ÷ 9/8
5/2 × 6/5 = 3 → 3 × 8/9 = 8/3
5/2 × 6/5 = 3 → 3 × 8/9 = 8/3
प्रश्न: आय का 1/4 किराए, 1/3 भोजन पर; ₹2500 बचे। आय?
बचा 1 − 7/12 = 5/12 = 2500 → ₹6000
प्रश्न (बचे हुए का भिन्न): 1/3 ख़र्च, फिर बचे का 1/4 भी ख़र्च; ₹600 बचे। कुल?
बचा = 2/3 × 3/4 = 1/2 → ₹1200
बचा 1 − 7/12 = 5/12 = 2500 → ₹6000
प्रश्न (बचे हुए का भिन्न): 1/3 ख़र्च, फिर बचे का 1/4 भी ख़र्च; ₹600 बचे। कुल?
बचा = 2/3 × 3/4 = 1/2 → ₹1200
प्रश्न: 12 m रस्सी से 3/4 m के कितने टुकड़े?
12 ÷ 3/4 = 12 × 4/3 = 16
प्रश्न: 3/5 के अंश-हर में क्या जोड़ें कि 5/7 बने?
(3 + x)/(5 + x) = 5/7 → 21 + 7x = 25 + 5x → x = 2
12 ÷ 3/4 = 12 × 4/3 = 16
प्रश्न: 3/5 के अंश-हर में क्या जोड़ें कि 5/7 बने?
(3 + x)/(5 + x) = 5/7 → 21 + 7x = 25 + 5x → x = 2
संख्या का 2/5 = 48 → संख्या = 48 × 5/2 = 120, उसका 3/4 = 90 · टंकी 3/5 भरी, 12 L डालने पर पूरी → 2/5 = 12 L → क्षमता 30 L
भिन्नों में भी BODMAS: 1/2 + 1/2 × 1/2 = 3/4 (1/2 नहीं)। "का" = गुणा। सतत भिन्न नीचे से हल करो: 1 ÷ (1 + 1 ÷ (1 + 1/2)) = 1 ÷ (1 + 2/3) = 3/5
"सरलतम रूप/तुल्य भिन्न" · "मिश्रित को अनुचित में बदलो" · "भिन्नों का योग/गुणा/भाग" · "किसी संख्या का x/y = …, तो संख्या?" · "इनमें से कौन उचित भिन्न है?"
भिन्नों की तुलना एवं दशमलव Comparing Fractions & Decimals
तुलना: a/b और c/d में a × d और b × c की तुलना करो (वज्र गुणन)
a × d > b × c → a/b बड़ी
हर समान → बड़ा अंश बड़ी भिन्न · अंश समान → छोटा हर बड़ी भिन्न
a × d > b × c → a/b बड़ी
हर समान → बड़ा अंश बड़ी भिन्न · अंश समान → छोटा हर बड़ी भिन्न
प्रश्न: 2/3, 3/4, 5/6 को बढ़ते क्रम में लिखो।
LCM 12: 8/12, 9/12, 10/12 → 2/3 < 3/4 < 5/6
प्रश्न: 4/7 या 5/9? → 4 × 9 = 36, 7 × 5 = 35 → 4/7 बड़ी
LCM 12: 8/12, 9/12, 10/12 → 2/3 < 3/4 < 5/6
प्रश्न: 4/7 या 5/9? → 4 × 9 = 36, 7 × 5 = 35 → 4/7 बड़ी
उचित भिन्नों में अंश-हर का अंतर समान हो तो बड़ी संख्याओं वाली भिन्न बड़ी: 1/2 < 2/3 < 3/4 < 4/5। उचित भिन्न के अंश-हर में समान धन संख्या जोड़ो तो भिन्न बढ़ती है।
बिंदु के बाद: दशांश (1/10), शतांश (1/100), सहस्रांश (1/1000)। दशमलव भिन्न = हर 10, 100, 1000…। 345.672 में 7 का स्थानीय मान = 0.07। अंत के शून्य से मान नहीं बदलता (0.5 = 0.50)। तुलना: पहले पूर्ण भाग, फिर दशांश — 0.5 > 0.45। पूर्णांकन: 3.456 → 2 दशमलव स्थान तक 3.46, 1 तक 3.5।
जोड़/घटाना: बिंदु एक सीध में (2.5 + 0.75 = 3.25)
× 10, 100, 1000 → बिंदु 1, 2, 3 स्थान दाएँ; ÷ → बाएँ (3.7 × 100 = 370; 3.7 ÷ 100 = 0.037)
गुणा: बिना बिंदु गुणा करो, फिर दोनों के दशमलव स्थान जोड़कर बिंदु लगाओ
0.2 × 0.03 = 0.006 (1 + 2 = 3 स्थान)
भाग: भाजक को पूर्ण बनाओ · 1.44 ÷ 0.12 = 144 ÷ 12 = 12
× 10, 100, 1000 → बिंदु 1, 2, 3 स्थान दाएँ; ÷ → बाएँ (3.7 × 100 = 370; 3.7 ÷ 100 = 0.037)
गुणा: बिना बिंदु गुणा करो, फिर दोनों के दशमलव स्थान जोड़कर बिंदु लगाओ
0.2 × 0.03 = 0.006 (1 + 2 = 3 स्थान)
भाग: भाजक को पूर्ण बनाओ · 1.44 ÷ 0.12 = 144 ÷ 12 = 12
सांत दशमलव (Terminating)दशमलव रुक जाता है: 1/4 = 0.25, 3/8 = 0.375। सरलतम भिन्न के हर में केवल 2 और/या 5 गुणनखंड हों तो सांत।
असांत आवर्ती (Recurring)अंक दोहराते रहते हैं: 1/3 = 0.333… = 0.3, 2/11 = 0.1818… = 0.18। हर में 2, 5 के अलावा अभाज्य (3, 7, 11…) हो।
आवर्ती → भिन्न: 0.a = a/9 | 0.ab = ab/99 | 0.ab = (ab − a)/90
0.3 = 3/9 = 1/3 · 0.27 = 27/99 = 3/11 · 0.16 = (16 − 1)/90 = 15/90 = 1/6 · 0.9 = 9/9 = 1
सामान्य नियम: (दशमलव के बाद के सभी अंक − न दोहराने वाले अंक) ÷ (दोहराने वाले अंकों जितने 9, फिर बाकी जितने 0)
0.123 = (123 − 1)/990 = 122/990 = 61/495 · 2.3 = 2 + 3/9 = 7/3
0.3 = 3/9 = 1/3 · 0.27 = 27/99 = 3/11 · 0.16 = (16 − 1)/90 = 15/90 = 1/6 · 0.9 = 9/9 = 1
सामान्य नियम: (दशमलव के बाद के सभी अंक − न दोहराने वाले अंक) ÷ (दोहराने वाले अंकों जितने 9, फिर बाकी जितने 0)
0.123 = (123 − 1)/990 = 122/990 = 61/495 · 2.3 = 2 + 3/9 = 7/3
प्रश्न: 0.4 + 0.3 = ?
4/9 + 3/9 = 7/9 = 0.7
4/9 + 3/9 = 7/9 = 0.7
प्रश्न: 3.25 को भिन्न में?
325/100 = 13/4
325/100 = 13/4
प्रश्न: इनमें सांत कौन? 7/12, 3/40, 5/6
40 = 2³ × 5 → 3/40 (= 0.075)
40 = 2³ × 5 → 3/40 (= 0.075)
"भिन्नों को आरोही क्रम में लिखो" · "दशमलव में स्थानीय मान" · "0.4 को भिन्न में बदलो" · "कौन-सी भिन्न सांत दशमलव देगी?"
भिन्न-दशमलव-प्रतिशत तालिका Fraction · Decimal · Percent
| भिन्न | दशमलव | % |
|---|---|---|
| 1/2 | 0.5 | 50% |
| 1/3 | 0.333… | 33 1/3% |
| 2/3 | 0.666… | 66 2/3% |
| 1/4 | 0.25 | 25% |
| 3/4 | 0.75 | 75% |
| 1/5 | 0.2 | 20% |
| 2/5 | 0.4 | 40% |
| 3/5 | 0.6 | 60% |
| 4/5 | 0.8 | 80% |
| भिन्न | दशमलव | % |
|---|---|---|
| 1/6 | 0.1666… | 16 2/3% |
| 5/6 | 0.8333… | 83 1/3% |
| 1/7 | 0.142857… | 14 2/7% |
| 1/8 | 0.125 | 12.5% |
| 3/8 | 0.375 | 37.5% |
| 5/8 | 0.625 | 62.5% |
| 7/8 | 0.875 | 87.5% |
| 1/9 | 0.111… | 11 1/9% |
| 1/10 | 0.1 | 10% |
| भिन्न | दशमलव | % |
|---|---|---|
| 1/11 | 0.0909… | 9 1/11% |
| 1/12 | 0.0833… | 8 1/3% |
| 5/12 | 0.4166… | 41 2/3% |
| 7/12 | 0.5833… | 58 1/3% |
| 1/15 | 0.0666… | 6 2/3% |
| 1/16 | 0.0625 | 6.25% |
| 1/20 | 0.05 | 5% |
| 1/25 | 0.04 | 4% |
| 1/40 | 0.025 | 2.5% |
भिन्न → प्रतिशत: × 100 | प्रतिशत → भिन्न: ÷ 100 | दशमलव → प्रतिशत: बिंदु 2 स्थान दाएँ (0.375 = 37.5%)
भिन्न → दशमलव: अंश ÷ हर (हर को 10, 100, 1000 बनाकर भी: 3/25 = 12/100 = 0.12)
भिन्न → दशमलव: अंश ÷ हर (हर को 10, 100, 1000 बनाकर भी: 3/25 = 12/100 = 0.12)
प्रश्न: 0.125 × 64 = ?
0.125 = 1/8 → 64 ÷ 8 = 8
प्रश्न: 0.75 × 0.75 + 2 × 0.75 × 0.25 + 0.25 × 0.25 = ?
(0.75 + 0.25)² = 1² = 1
0.125 = 1/8 → 64 ÷ 8 = 8
प्रश्न: 0.75 × 0.75 + 2 × 0.75 × 0.25 + 0.25 × 0.25 = ?
(0.75 + 0.25)² = 1² = 1
प्रश्न: 1/7 = 0.142857… तो 3/7 = ?
3/7 = 0.428571… (वही 6 अंक घूमते हैं)
प्रश्न: 2.5 ÷ 0.05 = ?
250 ÷ 5 = 50
3/7 = 0.428571… (वही 6 अंक घूमते हैं)
प्रश्न: 2.5 ÷ 0.05 = ?
250 ÷ 5 = 50
1/7 का चक्र 142857: 2/7 = 0.285714…, 3/7 = 0.428571…, 4/7 = 0.571428…, 5/7 = 0.714285…, 6/7 = 0.857142… — यही 6 अंक, अलग जगह से शुरू।
प्रश्न: सबसे बड़ा कौन? 3/5, 0.58, 61%
0.60, 0.58, 0.61 → 61%
0.60, 0.58, 0.61 → 61%
प्रश्न: (0.8² − 0.2²) ÷ (0.8 − 0.2) = ?
a² − b² = (a + b)(a − b) → 0.8 + 0.2 = 1
a² − b² = (a + b)(a − b) → 0.8 + 0.2 = 1
प्रश्न: 1/(1×2) + 1/(2×3) + … + 1/(9×10) = ? → हर पद 1/n − 1/(n+1) → 1 − 1/10 = 9/10
0.1 × 0.1 × 0.1 = 0.001 · 0.5 × 0.5 = 0.25 · 1 ÷ 0.25 = 4 · 1 ÷ 0.125 = 8 · 0.3² = 0.09।
"37.5% = कौन-सी भिन्न?" · "दशमलव वाले सरलीकरण (a² + 2ab + b² रूप)" · "भिन्न, दशमलव, % में सबसे बड़ा?" · "1/(n(n+1)) श्रेणी का योग"