Chapter 8 · Direction, Clock & Calendar
घड़ी — सुइयों की गति और कोण
Clocks — Hand Speeds & Angle Formulaगति (एक मिनट में)
मिनट सुई: 360° ÷ 60 = 6° / मिनट
घंटे की सुई: 30° ÷ 60 = ½° / मिनट (30° / घंटा)
सेकंड सुई: 6° / सेकंड (360° / मिनट)
सापेक्ष गति = 6 − ½ = 5½° / मिनट
मिनट सुई: 360° ÷ 60 = 6° / मिनट
घंटे की सुई: 30° ÷ 60 = ½° / मिनट (30° / घंटा)
सेकंड सुई: 6° / सेकंड (360° / मिनट)
सापेक्ष गति = 6 − ½ = 5½° / मिनट
| तथ्य | मान |
|---|---|
| दो अंकों के बीच (5 मिनट-खाने) | 30° |
| एक मिनट-खाना | 6° |
| 60 मिनट में मिनट सुई, घंटे की सुई से आगे निकलती है | 55 मिनट-खाने |
| एक दिन में चक्कर: घंटा / मिनट सुई | 2 / 24 |
दोनों सुइयों के बीच कोण (H बजकर M मिनट): θ = | 30H − (11/2)M |
θ 180° से बड़ा आए तो छोटा कोण = 360° − θ · 12 बजे के लिए H = 0 या 12 दोनों चलेंगे (मान 360 घटाकर)
θ 180° से बड़ा आए तो छोटा कोण = 360° − θ · 12 बजे के लिए H = 0 या 12 दोनों चलेंगे (मान 360 घटाकर)
3:40
|90 − 220| = 130°
|90 − 220| = 130°
7:20
|210 − 110| = 100°
|210 − 110| = 100°
4:20
|120 − 110| = 10°
|120 − 110| = 10°
9:45
|270 − 247.5| = 22½°
|270 − 247.5| = 22½°
12:30
|0 − 165| = 165°
|0 − 165| = 165°
10:10
|300 − 55| = 245 → 360 − 245 = 115°
|300 − 55| = 245 → 360 − 245 = 115°
घंटे की सुई कितना घूमी?
12 से 5:10 तक = 5 × 30 + 10 × ½ = 155°
सुबह 8 से दोपहर 2 तक (6 घंटे) = 6 × 30 = 180°
मिनट सुई 25 मिनट में = 25 × 6 = 150°
दो समयों के बीच: 3:15 PM से 9:40 PM = 6 घंटे 25 मिनट → 6 × 30 + 25 × ½ = 192½°
सुइयों में "n मिनट-खानों" का अंतर = 6n° (10 खाने = 60°)
12 से 5:10 तक = 5 × 30 + 10 × ½ = 155°
सुबह 8 से दोपहर 2 तक (6 घंटे) = 6 × 30 = 180°
मिनट सुई 25 मिनट में = 25 × 6 = 150°
दो समयों के बीच: 3:15 PM से 9:40 PM = 6 घंटे 25 मिनट → 6 × 30 + 25 × ½ = 192½°
सुइयों में "n मिनट-खानों" का अंतर = 6n° (10 खाने = 60°)
ठीक 4:20 पर घंटे की सुई 4 पर नहीं होती — वह 20 मिनट में 10° आगे जा चुकी होती है। इसीलिए कोण 0° नहीं, 10° है। "3:15 पर कोण 0°" गलत — सही 7½°।
"3:40 पर दोनों सुइयों के बीच कोण?" · "सुबह 8 बजे से दोपहर 2 बजे तक घंटे की सुई कितने अंश घूमेगी?" · "मिनट सुई 1 मिनट में कितने अंश?"
सुइयाँ कब मिलती, सीधी या समकोण पर Coincide, Opposite & Right Angle
H और (H+1) बजे के बीच, कोण θ कब बनेगा? M = (2/11)(30H ± θ) मिनट बाद (0 ≤ M < 60 वाला उत्तर लो)
मिलना (θ = 0°): M = 60H/11 · सीधी रेखा विपरीत (θ = 180°): M = (2/11)(30H ± 180) · समकोण (θ = 90°): M = (2/11)(30H ± 90)
मिलना (θ = 0°): M = 60H/11 · सीधी रेखा विपरीत (θ = 180°): M = (2/11)(30H ± 180) · समकोण (θ = 90°): M = (2/11)(30H ± 90)
3 और 4 के बीच कब मिलेंगी?
M = 180/11 = 16 4/11 मिनट
→ 3:16 4/11
M = 180/11 = 16 4/11 मिनट
→ 3:16 4/11
4 और 5 के बीच विपरीत?
M = 2(120 + 180)/11 = 600/11 = 54 6/11 मिनट
→ 4:54 6/11
M = 2(120 + 180)/11 = 600/11 = 54 6/11 मिनट
→ 4:54 6/11
3 और 4 के बीच समकोण?
2(90 − 90)/11 = 0 → 3:00
2(90 + 90)/11 = 32 8/11 → 3:32 8/11
2(90 − 90)/11 = 0 → 3:00
2(90 + 90)/11 = 32 8/11 → 3:32 8/11
4 और 5 के बीच समकोण?
2(120 − 90)/11 = 5 5/11
2(120 + 90)/11 = 38 2/11
→ 4:05 5/11 और 4:38 2/11
2(120 − 90)/11 = 5 5/11
2(120 + 90)/11 = 38 2/11
→ 4:05 5/11 और 4:38 2/11
4 और 5 के बीच 20° का कोण?
2(120 − 20)/11 = 18 2/11
2(120 + 20)/11 = 25 5/11
→ 4:18 2/11 और 4:25 5/11
2(120 − 20)/11 = 18 2/11
2(120 + 20)/11 = 25 5/11
→ 4:18 2/11 और 4:25 5/11
5 और 6 के बीच विपरीत?
2(150 − 180)/11 ऋण ✗
2(150 + 180)/11 = 60 ✗ (60 नहीं चलेगा)
→ कोई समय नहीं (अगली बार ठीक 6:00)
2(150 − 180)/11 ऋण ✗
2(150 + 180)/11 = 60 ✗ (60 नहीं चलेगा)
→ कोई समय नहीं (अगली बार ठीक 6:00)
| स्थिति | 12 घंटे में | 24 घंटे (1 दिन) में | कहाँ अपवाद |
|---|---|---|---|
| मिलती हैं (0°) | 11 बार | 22 बार | 11 और 1 के बीच केवल एक बार — ठीक 12 बजे |
| विपरीत / उल्टी (180°) | 11 बार | 22 बार | 5 और 7 के बीच केवल एक बार — ठीक 6 बजे |
| एक सीधी रेखा (0° या 180°) | 22 बार | 44 बार | ऊपर के दोनों का योग |
| समकोण (90°) | 22 बार | 44 बार | 2–4 और 8–10 के बीच 4 नहीं, 3 बार (3:00 और 9:00 साझा) |
दो बार मिलने के बीच समय
= 60 × 12/11 = 65 5/11 मिनट (सही घड़ी में)
मिनट सुई को 60 मिनट-खाने का अंतर पूरा करना है, वह 1 मिनट में 11/12 खाना आगे बढ़ती है
= 60 × 12/11 = 65 5/11 मिनट (सही घड़ी में)
मिनट सुई को 60 मिनट-खाने का अंतर पूरा करना है, वह 1 मिनट में 11/12 खाना आगे बढ़ती है
प्रश्न: सुइयाँ हर 64 मिनट (सही समय) पर मिलती हैं। घड़ी एक दिन में कितना आगे/पीछे?
64 मिनट में घड़ी ने 65 5/11 मिनट दिखाए → तेज़
लाभ = 16/11 मिनट हर 64 मिनट में
1 दिन: (1440/64) × 16/11 = 32 8/11 मिनट आगे
64 मिनट में घड़ी ने 65 5/11 मिनट दिखाए → तेज़
लाभ = 16/11 मिनट हर 64 मिनट में
1 दिन: (1440/64) × 16/11 = 32 8/11 मिनट आगे
सुस्त घड़ी: सुइयाँ हर 66 मिनट (सही समय) पर मिलती हैं → 65 5/11 से ज़्यादा → घड़ी पीछे
हानि = 66 − 65 5/11 = 6/11 मिनट हर 66 मिनट में
1 दिन: (1440/66) × 6/11 = 1440/121 = 11 109/121 मिनट पीछे
हानि = 66 − 65 5/11 = 6/11 मिनट हर 66 मिनट में
1 दिन: (1440/66) × 6/11 = 1440/121 = 11 109/121 मिनट पीछे
"एक दिन में सुइयाँ कितनी बार समकोण बनाती हैं?" (44) · "4 और 5 के बीच सुइयाँ कब विपरीत होंगी?" · "सुइयाँ हर 64 मिनट में मिलती हैं, घड़ी कितना आगे/पीछे?"
दर्पण प्रतिबिंब और आगे-पीछे चलने वाली घड़ी Mirror Image & Fast/Slow Clocks
दर्पण (Mirror) प्रतिबिंब समय
1:00 से 10:59 के बीच: 11:60 − दिया समय
11:00 से 12:59 के बीच: 23:60 − दिया समय
जाँच: दिया समय + प्रतिबिंब = 12:00 (या 24:00)
1:00 से 10:59 के बीच: 11:60 − दिया समय
11:00 से 12:59 के बीच: 23:60 − दिया समय
जाँच: दिया समय + प्रतिबिंब = 12:00 (या 24:00)
| असली समय | हल | दर्पण में |
|---|---|---|
| 3:40 | 11:60 − 3:40 | 8:20 |
| 2:15 | 11:60 − 2:15 | 9:45 |
| 8:25:20 | 11:59:60 − 8:25:20 | 3:34:40 |
| 12:20 | 23:60 − 12:20 | 11:40 |
| 11:50 | 23:60 − 11:50 | 12:10 |
दर्पण में जो दिखा उससे असली समय भी इसी तरह (11:60 − …) निकलता है। 12:00 और 6:00 का दर्पण प्रतिबिंब वही रहता है। सेकंड भी हों तो 11:59:60 से घटाओ।
आगे / पीछे चलने वाली घड़ी (Fast & slow clocks)
नियम
तेज़ घड़ी: दिखाया समय = सही समय + कुल लाभ
सुस्त घड़ी: दिखाया समय = सही समय − कुल हानि
अनुपात से: सही समय = घड़ी में बीता समय × (सही दर ÷ घड़ी की दर)
तेज़ घड़ी: दिखाया समय = सही समय + कुल लाभ
सुस्त घड़ी: दिखाया समय = सही समय − कुल हानि
अनुपात से: सही समय = घड़ी में बीता समय × (सही दर ÷ घड़ी की दर)
प्रश्न: घड़ी हर घंटे 5 मिनट तेज़ चलती है; सुबह 8 बजे सही मिलाई। सही समय शाम 4 बजे यह क्या दिखाएगी?
8 घंटे × 5 = 40 मिनट आगे → 4:40 PM
8 घंटे × 5 = 40 मिनट आगे → 4:40 PM
प्रश्न: घड़ी हर घंटे 4 मिनट सुस्त है; दोपहर 12 बजे सही मिलाई। जब यह शाम 7 बजे दिखाए, सही समय?
सही 60 मिनट में घड़ी 56 मिनट चलती है
घड़ी में बीते 420 मिनट → सही = 420 × 60/56 = 450 मिनट = 7 घंटे 30 मिनट → 7:30 PM
सही 60 मिनट में घड़ी 56 मिनट चलती है
घड़ी में बीते 420 मिनट → सही = 420 × 60/56 = 450 मिनट = 7 घंटे 30 मिनट → 7:30 PM
प्रश्न: एक घड़ी 10 मिनट आगे है और दूसरी 5 मिनट पीछे। पहली 9:00 दिखा रही है तो दूसरी?
सही समय = 9:00 − 10 = 8:50 → दूसरी = 8:50 − 5 = 8:45
सही समय = 9:00 − 10 = 8:50 → दूसरी = 8:50 − 5 = 8:45
आगे/पीछे वाले प्रश्नों में पहले सही समय निकालो, फिर दूसरी घड़ी पर जाओ।
"हर घंटे 5 मिनट तेज़" = सही समय के हर घंटे में 5 मिनट लाभ। घड़ी का दिखाया समय दिया हो, तो अनुपात (60 : 56 जैसा) लगाओ।
"घड़ी 3:40 दिखा रही है, दर्पण में कितना?" · "दर्पण में 8:20 दिखा, असली समय?" · "घड़ी हर घंटे 5 मिनट तेज़ … शाम 4 बजे क्या दिखाएगी?"
घड़ी — मिश्रित प्रश्न-प्रकार Clocks — Mixed Question Types
घड़ी फिर से सही समय कब दिखाएगी?
12 घंटे वाली (सुई) घड़ी को कुल 12 घंटे = 720 मिनट आगे या पीछे होना होगा
लगने वाला समय = 720 ÷ (प्रति घंटा लाभ या हानि, मिनट में) घंटे
(24 घंटे वाली डिजिटल घड़ी के लिए 1440 मिनट)
12 घंटे वाली (सुई) घड़ी को कुल 12 घंटे = 720 मिनट आगे या पीछे होना होगा
लगने वाला समय = 720 ÷ (प्रति घंटा लाभ या हानि, मिनट में) घंटे
(24 घंटे वाली डिजिटल घड़ी के लिए 1440 मिनट)
प्रश्न: घड़ी हर घंटे 2 मिनट तेज़ चलती है; अभी सही मिलाई। फिर सही समय कब दिखाएगी?
720 ÷ 2 = 360 घंटे = 15 दिन बाद
720 ÷ 2 = 360 घंटे = 15 दिन बाद
कुल त्रुटि से दर: घड़ी सोमवार सुबह 8 बजे सही मिलाई; मंगलवार रात 8 बजे यह 9 मिनट आगे थी। प्रति घंटा लाभ?
बीता समय = 36 घंटे → 9 × 60 ÷ 36 = 15 सेकंड प्रति घंटा
उसी दर से बुधवार सुबह 8 बजे (48 घंटे) = 12 मिनट आगे → 8:12 AM दिखाएगी
बीता समय = 36 घंटे → 9 × 60 ÷ 36 = 15 सेकंड प्रति घंटा
उसी दर से बुधवार सुबह 8 बजे (48 घंटे) = 12 मिनट आगे → 8:12 AM दिखाएगी
कितनी बार — दिए समय के बीच: हर घंटे 2 समकोण और 1 बार मिलना; सीमा वाले अपवाद (3:00, 9:00 · 12:00 · 6:00) ध्यान से
3 PM से 9 PM (दोनों शामिल) समकोण: 3:00, 3:32, 4:05, 4:38, 5:10, 5:43, 6:16, 6:49, 7:21, 7:54, 8:27, 9:00 = 12 बार
इसी बीच मिलना: 6 बार (3:16, 4:21, 5:27, 6:32, 7:38, 8:43 लगभग)
3 PM से 9 PM (दोनों शामिल) समकोण: 3:00, 3:32, 4:05, 4:38, 5:10, 5:43, 6:16, 6:49, 7:21, 7:54, 8:27, 9:00 = 12 बार
इसी बीच मिलना: 6 बार (3:16, 4:21, 5:27, 6:32, 7:38, 8:43 लगभग)
पानी में प्रतिबिंब (ऊपर-नीचे उलटना) — परीक्षा का प्रचलित नियम
पानी में समय = 18:30 − दिया समय (उत्तर 12 से बड़ा हो तो 12 घटाओ)
उदाहरण: 8:40 → 18:30 − 8:40 = 9:50
यह नियम ज्यामिति से बिल्कुल सटीक नहीं, केवल परिपाटी है; प्रश्न/पुस्तक में अलग नियम दिया हो तो वही मानो।
पानी में समय = 18:30 − दिया समय (उत्तर 12 से बड़ा हो तो 12 घटाओ)
उदाहरण: 8:40 → 18:30 − 8:40 = 9:50
यह नियम ज्यामिति से बिल्कुल सटीक नहीं, केवल परिपाटी है; प्रश्न/पुस्तक में अलग नियम दिया हो तो वही मानो।
दर्पण बनाम पानी
दर्पण = दाएँ-बाएँ उलटना (12–6 रेखा के चारों ओर) → 11:60 − समय
पानी = ऊपर-नीचे उलटना (3–9 रेखा के चारों ओर) → 18:30 − समय
दर्पण में असली जैसा ही समय केवल 6:00 और 12:00 पर (11:60 − t = t → t = 6:00)
दर्पण = दाएँ-बाएँ उलटना (12–6 रेखा के चारों ओर) → 11:60 − समय
पानी = ऊपर-नीचे उलटना (3–9 रेखा के चारों ओर) → 18:30 − समय
दर्पण में असली जैसा ही समय केवल 6:00 और 12:00 पर (11:60 − t = t → t = 6:00)
"मिलना हर 65 5/11 मिनट से कम में" → घड़ी तेज़ (आगे) · "ज़्यादा में" → घड़ी सुस्त (पीछे)। ठीक 65 5/11 मिनट पर मिलें → घड़ी सही। सुस्त घड़ी का हिसाब भी इसी विधि से: हानि = (मिलने का समय − 65 5/11) हर उतने मिनट में।
घंटे बजना: घड़ी 6 बजाने में 6 सेकंड लेती है, 12 बजाने में?
6 घंटों में 5 अंतराल = 6 से. → 1 अंतराल = 1.2 से.
12 घंटों में 11 अंतराल = 13.2 सेकंड (नियम: अंतराल = घंटे − 1)
हर घंटे जितने बजे उतनी बार बजे तो 12 घंटे में 1 + 2 + … + 12 = 78, दिन में 156
6 घंटों में 5 अंतराल = 6 से. → 1 अंतराल = 1.2 से.
12 घंटों में 11 अंतराल = 13.2 सेकंड (नियम: अंतराल = घंटे − 1)
हर घंटे जितने बजे उतनी बार बजे तो 12 घंटे में 1 + 2 + … + 12 = 78, दिन में 156
"घड़ी हर घंटे 2 मिनट तेज़ है, फिर सही समय कब दिखाएगी?" · "3 PM से 9 PM के बीच सुइयाँ कितनी बार समकोण बनाती हैं?" · "8:40 का पानी में प्रतिबिंब?" · "किस समय दर्पण प्रतिबिंब असली समय जैसा ही दिखता है?"