Chapter 1 · Numbers
संख्या पद्धति
Number Systemसम और विषम2 से पूरी बँटे = सम (0, 2, 4…)। न बँटे = विषम (1, 3, 5…)। सम + सम = सम, विषम + विषम = सम, सम × कोई भी = सम।
अभाज्य (Prime)जिसके ठीक 2 गुणनखंड हों — 1 और वही संख्या। 2 = सबसे छोटी और एकमात्र सम अभाज्य। 1 न अभाज्य, न भाज्य।
भाज्य (Composite)2 से अधिक गुणनखंड। सबसे छोटी भाज्य = 4। सबसे छोटी विषम भाज्य = 9।
सह-अभाज्य (Co-prime)जिनका म.स. = 1, जैसे (8, 15), (4, 9)। दोनों का अभाज्य होना ज़रूरी नहीं।
युग्म अभाज्य (Twin)अंतर 2 वाले अभाज्य जोड़े: (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31)…
0 के बारे में0 पूर्ण संख्या है, प्राकृत नहीं। 0 सम है। किसी संख्या को 0 से भाग अपरिभाषित।
| 1 से 100 तक के अभाज्य (कुल 25) | गिनती |
|---|---|
| 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47 | 1–50 में 15 |
| 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97 | 51–100 में 10 |
अंकों की गिनती: 1 अंक की संख्याएँ 9 (1–9), 2 अंक की 90 (10–99), 3 अंक की 900 (100–999)।
सबसे छोटी 4 अंकीय = 1000, सबसे बड़ी = 9999।
सबसे छोटी 4 अंकीय = 1000, सबसे बड़ी = 9999।
"1 से 100 = 25 अभाज्य, आधे (1–50) में 15"। अभाज्य जाँच: संख्या के √ तक के अभाज्यों से भाग दो — कोई न बाँटे तो अभाज्य। जैसे 97: √97 ≈ 9.8 → 2, 3, 5, 7 से नहीं बँटता → अभाज्य।
परिमेय-अपरिमेय के गुणपरिमेय + अपरिमेय = अपरिमेय (2 + √3)। दो अपरिमेय का योग/गुणा परिमेय भी हो सकता है: √2 × √2 = 2, (2 + √3) + (2 − √3) = 4। √4, √9, √(9/16) परिमेय हैं। π अपरिमेय है — 22/7 और 3.14 केवल सन्निकट मान। किन्हीं दो परिमेयों के बीच अनंत परिमेय। हर सांत या आवर्ती दशमलव परिमेय।
पूर्णांक और संख्या रेखादाएँ जाओ → बड़ा: −5 < −2 < 0 < 3। सबसे बड़ा ऋणात्मक पूर्णांक = −1; सबसे छोटा धनात्मक = 1; 0 न धन न ऋण।
(+)×(+) = +, (−)×(−) = +, (+)×(−) = −; भाग में भी यही।
−7 + 3 = −4 · −7 − 3 = −10 · (−6) × (−4) = 24 · |−5| = 5 (निरपेक्ष मान = 0 से दूरी)
(+)×(+) = +, (−)×(−) = +, (+)×(−) = −; भाग में भी यही।
−7 + 3 = −4 · −7 − 3 = −10 · (−6) × (−4) = 24 · |−5| = 5 (निरपेक्ष मान = 0 से दूरी)
"सबसे छोटी अभाज्य संख्या?" · "1 से 50 के बीच कितने अभाज्य?" · "इनमें से कौन-सा युग्म सह-अभाज्य है?" · "√3 किस प्रकार की संख्या है?" · "कौन पूर्ण संख्या है पर प्राकृत नहीं?" · "सबसे बड़ा ऋणात्मक पूर्णांक?" · "परिमेय + अपरिमेय = ?"
स्थानीय मान एवं संख्या लेखन Place Value
| भारतीय पद्धति | स्थान (अंकों की संख्या) | मान | अंतरराष्ट्रीय पद्धति |
|---|---|---|---|
| इकाई | 1 | 1 | Ones |
| दहाई | 2 | 10 | Tens |
| सैकड़ा | 3 | 100 | Hundreds |
| हज़ार | 4 | 1,000 | Thousand |
| दस हज़ार | 5 | 10,000 | Ten thousand |
| लाख | 6 | 1,00,000 | Hundred thousand |
| दस लाख | 7 | 10,00,000 | 1 Million |
| करोड़ | 8 | 1,00,00,000 | Ten million |
| दस करोड़ | 9 | 10,00,00,000 | Hundred million |
| अरब | 10 | 1,00,00,00,000 | 1 Billion |
| दस अरब | 11 | 10,00,00,00,000 | Ten billion |
| खरब | 12 | 1,00,00,00,00,000 | Hundred billion |
1 मिलियन = 10 लाख | 1 बिलियन = 100 करोड़
1 करोड़ = 10 मिलियन | 1 लाख = 100 हज़ार
भारतीय: 3, फिर 2-2 अंक पर अल्पविराम (12,34,56,789)। अंतरराष्ट्रीय: हर 3 अंक पर (123,456,789)।
1 करोड़ = 10 मिलियन | 1 लाख = 100 हज़ार
भारतीय: 3, फिर 2-2 अंक पर अल्पविराम (12,34,56,789)। अंतरराष्ट्रीय: हर 3 अंक पर (123,456,789)।
स्थानीय मान = अंक × उसके स्थान का मान
अंकित (जातीय) मान = अंक स्वयं
0 का स्थानीय मान हर जगह 0।
प्रसारित रूप: 30,405 = 3×10000 + 4×100 + 5
पूर्णांकन: 4,768 → निकटतम सौ 4,800, हज़ार 5,000
स्थानीय मान − अंकित मान = अंक × (स्थान का मान − 1)
अंकित (जातीय) मान = अंक स्वयं
0 का स्थानीय मान हर जगह 0।
प्रसारित रूप: 30,405 = 3×10000 + 4×100 + 5
पूर्णांकन: 4,768 → निकटतम सौ 4,800, हज़ार 5,000
स्थानीय मान − अंकित मान = अंक × (स्थान का मान − 1)
प्रश्न: 5,63,821 में 6 का स्थानीय मान और अंकित मान?
6 दस हज़ार के स्थान पर → स्थानीय मान = 60,000, अंकित मान = 6; अंतर = 59,994
6 दस हज़ार के स्थान पर → स्थानीय मान = 60,000, अंकित मान = 6; अंतर = 59,994
प्रश्न: 74,856 में 7 और 5 के स्थानीय मानों का अंतर?
70,000 − 50 = 69,950
70,000 − 50 = 69,950
प्रश्न: अंक 4, 0, 7, 2 से 4 अंकों की सबसे बड़ी और सबसे छोटी संख्या (अंक न दोहराएँ)?
सबसे बड़ी = 7420; सबसे छोटी = 2047 (0 पहले नहीं आ सकता)। अंतर = 5373
सबसे बड़ी = 7420; सबसे छोटी = 2047 (0 पहले नहीं आ सकता)। अंतर = 5373
शब्दों में: 2,05,08,013 = दो करोड़ पाँच लाख आठ हज़ार तेरह; 7,00,40,060 = सात करोड़ चालीस हज़ार साठ · परवर्ती = संख्या + 1, पूर्ववर्ती = संख्या − 1 · पूर्णांकन: अगला अंक 5 या अधिक → ऊपर, कम → नीचे · 1 सबसे छोटी प्राकृत, 0 सबसे छोटी पूर्ण संख्या।
सबसे बड़ी: अंक घटते क्रम में; सबसे छोटी: बढ़ते क्रम में, पर 0 दूसरे स्थान पर। दोहराने की छूट हो तो (0, 3, 8 से) 4 अंकीय सबसे छोटी = 3000, सबसे बड़ी = 8888।
"अंक का स्थानीय मान/अंकित मान" · "दो स्थानीय मानों का अंतर" · "दस लाख = ? मिलियन" · "दिए अंकों से सबसे बड़ी-छोटी संख्या का अंतर" · "निकटतम सौ तक पूर्णांकन"
रोमन अंक, क्रमागत संख्याएँ एवं अंक गिनना Roman Numerals, Consecutive Numbers
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| I | II | III | IV | V | VI | VII | VIII | IX | X |
| 20 | 30 | 40 | 50 | 60 | 70 | 80 | 90 | 100 | 500 / 1000 |
| XX | XXX | XL | L | LX | LXX | LXXX | XC | C | D / M |
नियम
1. छोटा अंक बड़े के दाएँ = जोड़ो (VI = 6); बाएँ = घटाओ (IV = 4)
2. I, X, C, M अधिकतम 3 बार; V, L, D कभी नहीं दोहराते; शून्य नहीं होता
3. घटाने में: I केवल V, X से पहले · X केवल L, C से पहले · C केवल D, M से पहले (V, L, D कभी नहीं घटते)
1. छोटा अंक बड़े के दाएँ = जोड़ो (VI = 6); बाएँ = घटाओ (IV = 4)
2. I, X, C, M अधिकतम 3 बार; V, L, D कभी नहीं दोहराते; शून्य नहीं होता
3. घटाने में: I केवल V, X से पहले · X केवल L, C से पहले · C केवल D, M से पहले (V, L, D कभी नहीं घटते)
XLIX = 40 + 9 = 49 (IL ग़लत)
XCIV = 90 + 4 = 94
CDXLIV = 400 + 40 + 4 = 444
MCMXCIX = 1000 + 900 + 90 + 9 = 1999
MMXXVI = 2026 · 3999 = MMMCMXCIX
XCIV = 90 + 4 = 94
CDXLIV = 400 + 40 + 4 = 444
MCMXCIX = 1000 + 900 + 90 + 9 = 1999
MMXXVI = 2026 · 3999 = MMMCMXCIX
क्रमागत संख्याओं के प्रश्न Consecutive numbers
3 क्रमागत संख्याएँ: x − 1, x, x + 1 (योग = 3x)
3 क्रमागत सम/विषम: x − 2, x, x + 2 (योग = 3x)
विषम गिनती हो तो बीच वाली = योग ÷ गिनती (सम गिनती में यह दो बीच वालों का औसत)
दो क्रमागत संख्याओं के वर्गों का अंतर = उनका योग (13² − 12² = 25)
3 क्रमागत सम/विषम: x − 2, x, x + 2 (योग = 3x)
विषम गिनती हो तो बीच वाली = योग ÷ गिनती (सम गिनती में यह दो बीच वालों का औसत)
दो क्रमागत संख्याओं के वर्गों का अंतर = उनका योग (13² − 12² = 25)
प्रश्न: 3 क्रमागत संख्याओं का योग 84। सबसे बड़ी?
बीच वाली = 84 ÷ 3 = 28 → 29
प्रश्न: 4 क्रमागत सम संख्याओं का योग 92। सबसे छोटी?
4x + 12 = 92 → x = 20 (20, 22, 24, 26)
बीच वाली = 84 ÷ 3 = 28 → 29
प्रश्न: 4 क्रमागत सम संख्याओं का योग 92। सबसे छोटी?
4x + 12 = 92 → x = 20 (20, 22, 24, 26)
अंक गिनना: 1 से 9 तक लिखने में 9 अंक · 1 से 99 तक 189 (9 + 90 × 2) · 1 से 999 तक 2889 (189 + 900 × 3)
प्रश्न: किताब के पेज क्रमांक लिखने में 552 अंक लगे। कितने पेज?
99 तक 189 अंक → बचे 552 − 189 = 363 → 363 ÷ 3 = 121 पेज (3 अंक वाले) → 99 + 121 = 220 पेज
99 तक 189 अंक → बचे 552 − 189 = 363 → 363 ÷ 3 = 121 पेज (3 अंक वाले) → 99 + 121 = 220 पेज
दो अंकों की संख्या = 10a + b; उलटी = 10b + a · अंतर = 9(a − b), योग = 11(a + b)
प्रश्न: अंकों का योग 9; अंक उलटने पर संख्या 27 बढ़ती है → 9(b − a) = 27 → b − a = 3, a + b = 9 → 36
प्रश्न: अंकों का योग 9; अंक उलटने पर संख्या 27 बढ़ती है → 9(b − a) = 27 → b − a = 3, a + b = 9 → 36
1 से 100 तक: अंक 5 (या 2–9 में कोई भी) 20 बार, अंक 1 → 21 बार, 0 → 11 बार (100 के कारण)। a से b तक (दोनों शामिल) संख्याएँ = b − a + 1।
"CDXLIV = ?" · "रोमन में कौन-सा सही है?" · "3 क्रमागत संख्याओं का योग दिया, सबसे बड़ी?" · "पेज क्रमांक में कुल अंक" · "1 से 100 तक 5 कितनी बार?"