Chapter 3 · Numbers
विभाज्यता के नियम एवं शेषफल
Divisibility & Remainders| से विभाज्य | नियम | उदाहरण |
|---|---|---|
| 2 / 5 / 10 | इकाई अंक 0, 2, 4, 6, 8 / 0 या 5 / 0 | 3,584 · 8,245 · 4,930 |
| 3 / 9 | अंकों का योग 3 / 9 से विभाज्य | 471 (योग 12) · 756 (योग 18) |
| 4 / 25 | अंतिम दो अंक 4 / 25 से विभाज्य (या 00) | 7,316 · 3,475 |
| 8 / 125 | अंतिम तीन अंक 8 / 125 से विभाज्य (या 000) | 5,120 · 4,375 |
| 16 | अंतिम चार अंक 16 से विभाज्य | 32,048 → 2048 = 16 × 128 ✓ |
| 6 / 12 | 2 और 3 दोनों / 3 और 4 दोनों | 534 · 1,644 |
| 15 / 18 / 20 | 3 और 5 / 2 और 9 / 4 और 5 (अंतिम दो अंक 20 से विभाज्य) | 270 → 18 ✓ · 1,340 → 20 ✓ |
| 24 / 36 / 45 | 3 और 8 / 4 और 9 / 5 और 9 | 4,176 → 36 ✓ (76, योग 18) |
| 7 | इकाई अंक का दोगुना बाकी संख्या से घटाओ; बचा 7 से विभाज्य | 343 → 34 − 6 = 28 ✓ |
| 11 | विषम स्थानों (दाएँ से) के अंकों का योग − सम स्थानों का योग = 0 या 11 का गुणज | 918082 → (2+0+1) − (8+8+9) = −22 ✓ |
| 7, 11, 13 | abcabc रूप = abc × 1001 = abc × 7 × 11 × 13 → तीनों से विभाज्य | 256256 ✓ |
प्रश्न: 7□6 पूरी तरह 9 से विभाज्य है। □ = ?
7 + □ + 6 = 13 + □ → अगला 9 का गुणज 18 → □ = 5 (756 ÷ 9 = 84)
7 + □ + 6 = 13 + □ → अगला 9 का गुणज 18 → □ = 5 (756 ÷ 9 = 84)
प्रश्न: 4□83 पूरी तरह 11 से विभाज्य है। □ = ?
दाएँ से: विषम स्थान 3 + □, सम स्थान 8 + 4 = 12 → (3 + □) − 12 = 0 → □ = 9 (4983 ÷ 11 = 453)
दाएँ से: विषम स्थान 3 + □, सम स्थान 8 + 4 = 12 → (3 + □) − 12 = 0 → □ = 9 (4983 ÷ 11 = 453)
प्रश्न: 2□48 पूरी तरह 8 से विभाज्य है। □ के कितने मान संभव?
अंतिम तीन अंक □48 को 8 से जाँचो: 048, 248, 448, 648, 848 ✓; 148, 348… ✗ → □ = 0, 2, 4, 6, 8 → 5 मान
अंतिम तीन अंक □48 को 8 से जाँचो: 048, 248, 448, 648, 848 ✓; 148, 348… ✗ → □ = 0, 2, 4, 6, 8 → 5 मान
शेषफल के नियम: योग का शेष = शेषों का योग (फिर भाग) · गुणनफल का शेष = शेषों का गुणनफल (फिर भाग)
(25 + 37) ÷ 6 → 1 + 1 = 2 · (17 × 23) ÷ 5 → 2 × 3 = 6 → 1 · 9 (या 3) से शेष = अंकों के योग का शेष (7,654 → 22 → शेष 4) · 2, 5, 10 से शेष = इकाई अंक से; 4, 25 से = अंतिम दो अंकों से; 8 से = अंतिम तीन से
गुणजों की गिनती: 1 से n में k के गुणज = n ÷ k का भागफल (1–100 में 3 के 33) · a से b तक = (अंतिम − पहला) ÷ k + 1 (50–150 में 7 के: 56…147 → 14)
x यदि a और b दोनों को बाँटे तो (a + b) और (a − b) को भी बाँटेगा · दो सह-अभाज्यों से विभाज्य → उनके गुणनफल से भी
(25 + 37) ÷ 6 → 1 + 1 = 2 · (17 × 23) ÷ 5 → 2 × 3 = 6 → 1 · 9 (या 3) से शेष = अंकों के योग का शेष (7,654 → 22 → शेष 4) · 2, 5, 10 से शेष = इकाई अंक से; 4, 25 से = अंतिम दो अंकों से; 8 से = अंतिम तीन से
गुणजों की गिनती: 1 से n में k के गुणज = n ÷ k का भागफल (1–100 में 3 के 33) · a से b तक = (अंतिम − पहला) ÷ k + 1 (50–150 में 7 के: 56…147 → 14)
x यदि a और b दोनों को बाँटे तो (a + b) और (a − b) को भी बाँटेगा · दो सह-अभाज्यों से विभाज्य → उनके गुणनफल से भी
किसी संख्या से विभाज्यता जाँचने के लिए उसे सह-अभाज्य भागों में तोड़ो: 24 = 3 × 8 ✓ (2 × 12 ✗, क्योंकि 2 और 12 सह-अभाज्य नहीं)। 36 = 4 × 9, 72 = 8 × 9।
"□ में कौन-सा अंक रखें कि संख्या 9/11 से विभाज्य हो?" · "कौन-सी संख्या 36 से विभाज्य है?" · "abcabc किससे विभाज्य?" · "x से भाग देने पर शेषफल?"
गुणनखंड, गुणज, म.स. और ल.स. Factors, Multiples, HCF & LCM
गुणनखंड (Factor)जो संख्या को पूरा बाँटे। 12 के गुणनखंड: 1, 2, 3, 4, 6, 12। हर संख्या का सबसे छोटा गुणनखंड 1, सबसे बड़ा वह स्वयं। गुणनखंडों की संख्या सीमित।
गुणज (Multiple)संख्या × 1, 2, 3… 4 के गुणज: 4, 8, 12, 16…। सबसे छोटा गुणज वह स्वयं; गुणज अनंत।
यदि N = aᵖ × bᵠ × cʳ (a, b, c अभाज्य) तो
कुल गुणनखंडों की संख्या = (p + 1)(q + 1)(r + 1)
गुणनखंडों का योग = (1 + a + … + aᵖ)(1 + b + … + bᵠ)(1 + c + … + cʳ)
विषम गुणनखंड: 2 की घात छोड़कर गिनो · सम गुणनखंड = कुल − विषम · पूर्ण वर्ग के गुणनखंडों की संख्या हमेशा विषम
कुल गुणनखंडों की संख्या = (p + 1)(q + 1)(r + 1)
गुणनखंडों का योग = (1 + a + … + aᵖ)(1 + b + … + bᵠ)(1 + c + … + cʳ)
विषम गुणनखंड: 2 की घात छोड़कर गिनो · सम गुणनखंड = कुल − विषम · पूर्ण वर्ग के गुणनखंडों की संख्या हमेशा विषम
प्रश्न: 72 के गुणनखंड?
72 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 = 2³ × 3² → (3+1)(2+1) = 12
1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72
72 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 = 2³ × 3² → (3+1)(2+1) = 12
1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72
प्रश्न: 360 के कितने गुणनखंड?
360 = 2³ × 3² × 5¹ → 4 × 3 × 2 = 24
विषम = (2+1)(1+1) = 6, सम = 18
360 = 2³ × 3² × 5¹ → 4 × 3 × 2 = 24
विषम = (2+1)(1+1) = 6, सम = 18
प्रश्न: 12 के गुणनखंडों का योग?
12 = 2² × 3 → (1+2+4)(1+3) = 7 × 4 = 28
12 = 2² × 3 → (1+2+4)(1+3) = 7 × 4 = 28
पूर्ण संख्या (Perfect number): अपने गुणनखंडों (स्वयं को छोड़कर) का योग = वही संख्या। 6 (1+2+3), 28 (1+2+4+7+14), 496।
गुणनखंड जोड़ों में आते हैं: 36 → (1, 36), (2, 18), (3, 12), (4, 9), (6, 6) — √ तक जाँचो, आगे जोड़ा अपने आप मिल जाता है।
म.स. / HCF (GCD)सबसे बड़ी संख्या जो सभी को पूरा बाँटे।
गुणनखंड विधि: उभयनिष्ठ अभाज्यों की सबसे छोटी घात का गुणनफल।
12 = 2² × 3, 18 = 2 × 3² → HCF = 2 × 3 = 6
गुणनखंड विधि: उभयनिष्ठ अभाज्यों की सबसे छोटी घात का गुणनफल।
12 = 2² × 3, 18 = 2 × 3² → HCF = 2 × 3 = 6
ल.स. / LCMसबसे छोटी संख्या जो सभी से पूरी बँटे।
गुणनखंड विधि: सभी अभाज्यों की सबसे बड़ी घात का गुणनफल।
12 = 2² × 3, 18 = 2 × 3² → LCM = 2² × 3² = 36
गुणनखंड विधि: सभी अभाज्यों की सबसे बड़ी घात का गुणनफल।
12 = 2² × 3, 18 = 2 × 3² → LCM = 2² × 3² = 36
भाग विधि (HCF): 56 और 72
72 = 56 × 1 + 16 → 56 = 16 × 3 + 8 → 16 = 8 × 2 + 0 → HCF = 8
तीन संख्याएँ: पहले दो का HCF, फिर उसका तीसरी से — HCF(48, 72, 108) = HCF(24, 108) = 12
72 = 56 × 1 + 16 → 56 = 16 × 3 + 8 → 16 = 8 × 2 + 0 → HCF = 8
तीन संख्याएँ: पहले दो का HCF, फिर उसका तीसरी से — HCF(48, 72, 108) = HCF(24, 108) = 12
भाग विधि (LCM): 12, 18, 30
2 से → 6, 9, 15 · 3 से → 2, 3, 5 (अब कोई साझा नहीं)
LCM = 2 × 3 × 2 × 3 × 5 = 180
2 से → 6, 9, 15 · 3 से → 2, 3, 5 (अब कोई साझा नहीं)
LCM = 2 × 3 × 2 × 3 × 5 = 180
"x के अभाज्य गुणनखंड" · "x के कुल/सम/विषम गुणनखंडों की संख्या" · "गुणनखंडों का योग" · "इनमें से कौन पूर्ण संख्या (perfect number) है?" · "सबसे छोटा अभाज्य गुणनखंड" · "किसका गुणज नहीं है?"
म.स. और ल.स. के प्रश्न HCF & LCM Problems
दो संख्याओं के लिए: पहली × दूसरी = HCF × LCM (12 × 18 = 6 × 36 = 216)
तीन संख्याओं पर यह नियम लागू नहीं (a × b × c ≠ HCF × LCM)
भिन्नों का HCF = अंशों का HCF ÷ हरों का LCM | LCM = अंशों का LCM ÷ हरों का HCF (भिन्नें सरलतम रूप में हों)
HCF सदा LCM का गुणनखंड · सह-अभाज्य: HCF = 1, LCM = गुणनफल · 1 से 10 का LCM = 2520
तीन संख्याओं पर यह नियम लागू नहीं (a × b × c ≠ HCF × LCM)
भिन्नों का HCF = अंशों का HCF ÷ हरों का LCM | LCM = अंशों का LCM ÷ हरों का HCF (भिन्नें सरलतम रूप में हों)
HCF सदा LCM का गुणनखंड · सह-अभाज्य: HCF = 1, LCM = गुणनफल · 1 से 10 का LCM = 2520
प्रश्न: HCF 12, LCM 72, एक संख्या 24। दूसरी?
12 × 72 ÷ 24 = 36
12 × 72 ÷ 24 = 36
प्रश्न: 2/3, 4/9, 8/15 का LCM?
LCM(2, 4, 8) ÷ HCF(3, 9, 15) = 8 ÷ 3 = 8/3
LCM(2, 4, 8) ÷ HCF(3, 9, 15) = 8 ÷ 3 = 8/3
प्रश्न: अनुपात 3 : 4, HCF 5 → संख्याएँ 15, 20 → LCM = 60
प्रश्न: योग 96, HCF 12 → 12a + 12b = 96 → a + b = 8 (सह-अभाज्य) → (1, 7), (3, 5) → 2 जोड़े (12, 84), (36, 60)
प्रश्न: योग 96, HCF 12 → 12a + 12b = 96 → a + b = 8 (सह-अभाज्य) → (1, 7), (3, 5) → 2 जोड़े (12, 84), (36, 60)
| प्रश्न का प्रकार | उत्तर | उदाहरण |
|---|---|---|
| सबसे बड़ी संख्या जो सबको पूरा बाँटे / सबसे बड़ी टाइल, बर्तन | HCF | 8 m, 12 m → 4 m |
| सबसे बड़ी संख्या जो a, b में शेष r छोड़े | HCF(a−r, b−r) | 245, 1029 शेष 5 → HCF(240, 1024) = 16 |
| … अलग-अलग शेष r₁, r₂ छोड़े | HCF(a−r₁, b−r₂) | 70, 125 शेष 5, 8 → HCF(65, 117) = 13 |
| … सबमें समान शेष (शेष बताया न हो) | अंतरों का HCF | 43, 91, 183 → HCF(48, 92, 140) = 4 |
| सबसे छोटी संख्या जो सबसे पूरी बँटे / साथ बजना | LCM | घंटियाँ 6, 8, 12 मिनट पर → 24 मिनट बाद साथ |
| सबसे छोटी जो हर बार शेष r दे | LCM + r | 4, 6, 10 से शेष 3 → 63 |
| शेष अलग पर (भाजक − शेष) = k समान | LCM − k | 4, 5, 6 से शेष 3, 4, 5 → 60 − 1 = 59 |
| सबसे छोटी / बड़ी n अंकीय जो पूरी बँटे | LCM का अगला गुणज / (सबसे बड़ी n अंकीय − शेष) | 12, 15, 20 → 1020 / 9999 ÷ 60 शेष 39 → 9960 |
| सबसे बड़ी n अंकीय जो शेष r दे | ऊपर वाला + r | 12, 15, 20 से शेष 3 → 9963 |
| टाइलों की संख्या / टाइलों से सबसे छोटा वर्ग | क्षेत्रफल ÷ (HCF)² / भुजा = LCM | 480 × 640 cm → HCF 160 → 12 टाइल · 12 × 18 cm टाइल → 36 cm वर्ग, 6 टाइल |
"सबसे बड़ी … जो बाँटे" = HCF (टुकड़े, टाइल) · "सबसे छोटी … जो बँटे" = LCM (दोबारा साथ, घंटियाँ)। HCF ≤ सबसे छोटी संख्या ≤ LCM।
"दो संख्याओं का गुणनफल और HCF दिया, LCM?" · "भिन्नों का HCF/LCM" · "घंटियाँ/लाइट/धावक फिर कब साथ?" · "शेष r छोड़ने वाली सबसे बड़ी संख्या" · "सबसे छोटी 4 अंकीय संख्या जो … से विभाज्य"